​如何讀好數學書?

李天巖(1945-2020)教授在中國有著極高的知名度,他不僅有被著名物理學家戴森稱為不朽珍品的學術代表作《週期三意味著混沌》,還證明了“氫彈之父”烏拉姆的一個數學猜想,以及對荷蘭數學家布勞威爾的著名不動點定理的構造性證明,一舉奠定了他在混沌動力系統與同倫延拓演算法兩個領域中的學術地位。而這樣一位學術巨人,同時還是一位經歷了約20次大手術和不計其數小手術的“數壇史鐵生”。

作為李天巖的弟子,美國南密西西比大學數學系的丁玖教授對他的導師懷有深厚的感情,他曾在李教授剛辭世時在眼淚中寫下了《難忘的35年師生情緣:懷念華裔傳奇數學家李天巖教授》。後來,他收集更多資料完成了一部泣血之作——《走出混沌:我與李天巖的數學情緣》。詳細介紹可參見文後書評,在此謹節選該書第五章《讀書妙法》,與學人共賞。

​如何讀好數學書?

本文經授權節選自《走出混沌:我與李天巖的數學情緣》(上海科技教育出版社)第五章《讀書妙法》,題目為編者所加。

撰文 | 丁玖

(美國南密西西比大學數學系教授)

如同在數學中常做的那樣,在仔細討論“讀書妙法”之前,我們先給出一個假設,即所學科目的任課老師和所選教材都令人滿意;如果屬於自學,則也假設學習的動力不是問題。此外,智力的作用並不是我們所要考慮的一個因素。在這些比較理想的背景下,我們怎樣能夠卓有成效地讀好一本數學書?

李天巖教授經過在臺灣和美國長期的書本學習和研究實踐,已經總結出寶貴的讀書妙法。我也在過去幾十年的讀書生涯中,結累了一些“讀好書”的心得體會。離開師門長達三十年,我和他的師生之緣不僅沒有褪色,而且不斷增添光彩,其中的一個關鍵要素是我們對關於人生、學習、教書、研究、演講等的許多問題有著幾乎一致的看法,也遵循著我們都強烈認同的行動準則。這一章所重點談論的“怎樣學數學”,固然是對李天巖教授一生讀書研究的一個概括,其實也穿插著我對讀書學習的點滴理解。

我們師生都深刻體會到學好數學的最重要法寶就是對概念的精通

。其實這也是我的大學同班同學中那些數學學得透徹的一部分人的共同體會。由於在2015年7月慶祝李教授70週歲的師生聚會中,我和師爺約克教授就教育問題進行過全方位的交流,我也會轉述約克對讀書的一些真知灼見。

數學以公理和公設為前提,以定義為先導,以邏輯為手段,逐步推演出揭示概念各種性質以及與其他概念相互關係的有用命題。在這一過程中,推理的藝術至關重要。而我們看懂定理證明的一切本領,最初的訓練來源自中學所學的歐幾里得幾何。所以,1977年江蘇省高考統考的數學滿分者、我的大學同班同學魏木生在密歇根州立大學和我的一次聊天中認為,平面幾何是中學數學課程中最重要的。

在數學中,一個新的概念的定義必然用到其他概念,而屬於它的命題不外乎是關於概念的性質、用途或與其他概念的關係。在一個命題的敘述中,所有涉及到的概念都必須已被明確而清晰地定義,否則即便天才也看不懂這個命題。故在它們的證明中,所碰到的數學概念無處不在。因此一碰到某個概念,就應該在腦海裡浮現出關於它的完整影象。比如說,在微積分的級數理論裡有個簡單的命題:若無窮級數收斂,則該級數的通項數列一定趨向於0。在這個命題當中,有兩個基本的名詞概念,即“級數”和“數列”,還有一個極其重要的“收斂”概念,分別用於級數和數列。所以在證明這個命題時,一定要對這幾個概念的定義以及它們之間的關係瞭然於胸。如果連級數收斂的定義還停留在模模糊糊的狀態,或者根本還沒有搞懂一個級數的通項數列與該級數部分和數列之間的關係和區別,怎麼能從一個級數的收斂性推匯出它的通項數列趨向於0的這個級數收斂的必要條件呢?

雖然概念這麼重要,但是太多的學生卻沒有把它放在眼裡,或者根本就不知道“掌握概念”這個讀書利器。原因之一或許是在他們進入大學前的中小學階段,就被高考指揮棒和題海戰術的誤導下,只求死記硬背。他們被動接受讀書的這種最差方法,或許另一個的原因是,對於他們而言,背誦定義比理解定義更容易、更輕鬆。背誦定義只是機械性的行為,就像舊時代私塾先生搖頭晃腦地教學生背誦古書一樣。而理解概念則需要大腦的思考投入了。寫得好的數學教科書中的概念定義,表達得十分清楚,遣詞造句也很節約,即句中沒有多餘話語,每個單詞都有意義。要完全理解包含許多邏輯連詞的複雜定義的內涵,絕非是光靠背得滾瓜爛熟就能駕馭。它需要閱讀定義時不停頓的苦思冥想,並且要絞盡腦汁地徹底弄懂。檢驗自己是否真正搞懂了某個定義,一個妙法就是詢問自己這個定義不成立時應該怎麼說。如果寫不出來,大概離真懂定義還有不少差距。

李天巖教授在課上教書闡述一個抽象概念時,喜歡舉例說明。我在廣州聽他第一次演講時就被他的“化繁為簡”法迷住了,來到美國第一個學期中他為顏教授代課時的風采也被我記載下來,那是我在美國第一次聽他上課。現在就舉一例,試一試如何否定一個數學陳述。就從每個理工科大學生都學過的微積分入手。假設讀者曾經學過嚴格的“ε-δ”語言極限定義。讓我們先回憶一下這個定義:設f是實變數x的一個實數值函式,且給定函式定義域區間裡的一個實數a。如果存在實數L使得對任給正數ε,存在正數δ,使得當位於該區間內的x滿足不等式0 < |x - a| < δ時,不等式|f(x) - L| < ε就成立,那麼我們稱函式f當自變數x趨向於a時的極限為L。現在,下面的否定陳述“函式f當x趨向於a時的極限不存在”用“ε-δ”語言該怎麼表達呢?這是關於一個概念定義不成立時的說法。當這個概念成立所需的性質相對比較簡單的時候,其否定的陳述自然也是比較簡單。比如說,“我是一個教授”的否定敘述就是“我不是一個教授”。然而,對於一個同時包含了“任給”、“存在”、“當……就”等單詞和短語的複雜定義,它的否定語句就不一定輕而易舉地就能寫出。這需要我們開動腦筋,梳理好原句中的邏輯關係,揮舞起邏輯思維中的武器,才能正確無誤地將否定句寫得“合乎邏輯”。讀到這裡的讀者,就請你測試一下你的邏輯推理能力,寫出“函式f在a點的極限不存在”的一個定義吧。

只求記憶、不肯思考是當今許多人學數學時的一大錯誤做法,也深得李天巖教授的鞭撻。我在密歇根州立大學唸書的那幾年,就聽他好幾次講到他的博士母校馬里蘭大學數學系發生的一件真事。一位外國留學生要接受一次博士資格考試的口試。主考官請被口試者證明點集拓撲學中著名的吉洪諾夫定理,但只要求她證明二維的簡化版本:兩個緊集的乘積在乘積拓撲下也是緊集。但是該博士生央求教授讓她證明一般的吉洪諾夫定理:任意個緊集的乘積在乘積拓撲下也是緊集。原因是她已經將這個一般性結論的證明從頭到尾記得爛熟於心,卻不會證明定理的特殊情形。

事實上,這種現象相當普遍。一些同學早已將上述的極限定義背得滾瓜爛熟,但還是沒有理解這個定義背後的含義,一旦用到具體場合,或做起稍有挑戰性的極限題目就墜入迷霧之中,不知如何下手。在一些需要證明極限不存在,或即便極限存在但其值不是某一個給定數的場合,就更加不知所措了。在讀內容不易消化的數學書時,經常會對複雜的定義或艱深的定理,一下子感到難以理解。如果這種情況發生,也不要太悲觀失望。這時需要充足的耐心和自信。回顧過去的概念往往是個正確的選擇。這裡我們不妨借用一下美國傑出的物理學家費曼(Richard Feynman,1918-1988)在他23歲時給比他小九歲的妹妹提供的讀書指導建議:“你從頭讀,儘量往下讀直到你一竅不通時,再從頭開始。這樣堅持往下讀,直到你全能讀懂為止。”這個方法是行之有效的,最適於那些希望無師自通的自學者們採用。費曼的妹妹採用這個方法讀完並讀懂了一本有關天文學的書,成功的喜悅促使她選擇了這門學科作為終生的職業。我自己長期自學,也常用這種來回作戰法戰勝一本數學書中的每章每節。李教授長期研究求解多項式方程組,自修了與代數幾何是親密弟兄的非交換代數,我相信他也是和費曼的做法一致。我大學同學中分析數學學得比較紮實的那些人,肯定也與費曼“英雄所見略同”:讀書碰到不懂之處時,馬上從頭再來,步步為營穩步前進,最終全盤拿下整章整節。

看懂證明並能上升到學會證明是讀數學書的關鍵步驟

。李天巖教授對學數學最反感的做法就是背誦證明卻缺乏理解,所以如果他的學生要給他報告一個定理的證明時,他絕不會讓你證明一般結論,而是叫你證明具體的簡單情形,察看你是否真的搞懂了。他對學生不僅這樣要求,也身體力行地示範之。在他晚年接近正式退休時,他應邀為系裡的幾個來自祖國的訪問學生講解他關於“連續函數週期三點存在隱含週期n點存在”的證明,其中的一個學生許士坦現在是該系正式錄取的博士研究生。在他寄給我的一張李教授正在演示證明的照片中,我看到的黑板上寫下的是證明n = 4時的特殊情形,而證明對一般正整數n結論都對的思想就在這個具體證明中充分顯示。所以要當上李教授的學生,就要會證n = 3或4時的特殊結論。

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李教授2017年給學生講授混沌理論

問題是,在教科書或論文專著中,作者並沒有寫下n = 3或4時具體定理的證明,而對定理的敘述及其對此的證明基本上都是一般性的,那怎樣能看懂複雜而冗長的證明?讓我們讀一讀約克教授的建議:

“學生(甚至教授)要試圖理解證明中的關鍵思想,並最好找到兩個關鍵的想法。這些關鍵思路不一定非得以‘引理’的面貌出現,因為書中也許指出了太多似是而非的關鍵線索。其實關鍵思想往往是令學生大吃一驚的那個,因而不同人會挑出一個證明中的不同關鍵想法。它們是提高我們理解力的關鍵要素。一個關鍵的點子也許會有複雜的證明,故學生們應當從這個過程中發現兩個關鍵的思想。”

2015年7月,在給我的一個長長的電郵中,約克教授舉了兩個例子說明怎樣找出證明中的關鍵思想。大概因為微積分裡關於連續函式的“介值定理”在他和弟子最著名的文章中起了關鍵性的作用 ,他把這個定理的證明作為第一個例子。定理的幾何意義一般人也能理解:把一根直線兩旁各一已知點連線起來的任何一條連續曲線必定要穿過這根直線至少一次。它的嚴格數學陳述是:如果f是定義在閉區間[a, b]上的取實數值的一個連續函式,則對位於函式值f(a)和f(b)之間的任何一個數d,存在[a, b]中的一點c,使得f(c)=d。證明定理的第一個關鍵想法是,透過區間的中點將區間[a, b]分成兩個閉子區間,長度都是原區間的一半,則數d一定位於f在兩個閉子區間之一的兩個端點上的兩個函式值之間,由此性質確定的那個子區間將取代原先的區間。第二個關鍵想法是,只要d沒有成為f在目前得到的子區間某端點的函式值,重複運用上面那個平分割槽間的思想,並且保持數d總是位於區間兩端點的函式值之間這一性質。如果上述過程的每一步都取不到所要求的函式值d,就可以得到每次長度縮小一半、前面套住後面的一個無窮的閉區間序列。這些區間的長度最終將趨向於0,故關於實數的“閉區間套定理”確保它們只有一個共同點c。根據假設f是一個連續函式,因而該點c必定滿足等式f(c)=d。上述兩個想法就是證明介值定理所需要的關鍵思想。

或許也因為他當過系主任的馬里蘭大學數學系歷史上的那個頗能說明問題的“資格考口試”,約克教授舉的第二個例子就是前面提到的吉洪諾夫定理的標準證明。這個證明自然難多了,而且還需要不是每個數學家都認可的策梅洛(Ernst Zermelo,1871-1953)集合論選擇公理,所以這裡不詳細解釋,僅僅指出也是兩個關鍵的想法導致證明水到渠成。有拓撲學基礎並對證明想追根求源的讀者,可以從我於2016年由商務印書館出版的書《親歷美國教育:三十年的體驗與思考》的附錄《約克教授談教育》中讀到細節。

約克有資格傳授讀好數學的真經,因為他是全世界極富盛名的混沌大師,為此和“分形之父”曼德博(Benoit B。 Mandelbrot,1924-2010)共享了2003年的日本獎。而他所在的馬里蘭大學混沌動力系統研究團隊,在他弟子的眼裡,學術聲譽應是全美第一。但是這樣一個極具創造力的研究型數學家,在高中時代,所有數學課的成績最高只是87分,沒有一個“優”。這不是道聽途說的“假新聞”,我從他電郵給我的所有高中成績單中看得一清二楚。但是我聽說過,中國許許多多的中小學生數學平均分在95分左右的,還必須去校外家教“輔導班”繼續加工,因為還沒有達到“完美分數”的高度。然而約克告訴我,“我在讀高中時就學會了怎樣學數學”。所以他在家鄉新澤西州的高中數學競賽獲得全州第三的成績。約克考進了哥倫比亞大學讀本科後成績單還是“其貌不揚”。他和弟子賣關子說“我在大學時沒有B”,李天巖開始以為“全是A”,得到的回答卻是“C或C以下”。然而大學數學成績單非常漂亮的李天巖教授在他的文章《回首來時路》裡卻這樣寫道:

“雖然我那時檔案裡的記錄極為出眾,但如今回想起來 當時實際上可以說是一竅不通,不知自己到底在幹什麼。唸書時背定理,背邏輯最多隻能應付考試。畢業服完兵役 以後,絕大多數以前所學當然都忘了。老實說,在出國前,我真想放棄數學,不幹算了。後來在美遇到了導師約克教授。從他那裡,我才慢慢對學數學和研究數學有了些初步的認識,而這些認識大大助長了我以後學習數學的視野和方式。”

真是肺腑之言呀!至少就讀數學而言,成績並不重要,因為學數學並非訓練記憶力,而是訓練認識世界的能力。東西方文化的差異也影響了讀書學習的習慣。在東方,尤其是當今的中國,但求記憶不求思考地被動跟隨教科書上的邏輯推理過程學習數學,只知道為什麼這一步推出下一步,下一步又推出了再下一步,最後推出定理的結論。看上去搞懂了證明的過程,卻沒有真正理解,只能應付考試。而西方的好學生,在讀書時經常會問“為什麼”:它為什麼是這樣?為何要這樣做?這些問題不大會在考試中碰見,但在做研究時卻經常出現。所以約克略開玩笑地對年輕學生說:“如果你只想考試過關,就背誦定理的證明吧。但是如果你想做研究,就要真正搞懂證明中的兩個關鍵思想。”

做習題是學數學過程中不可或缺的一環,但是科學地做題不僅節省時間,而且能事半功倍。我讀大學時,全國的數學系學生做白俄羅斯籍數學家吉米多維奇(Boris Pavlovich Demidovich,1906-1977)的《數學分析習題集》蔚然成風。這本書對培養人的推理能力功不可沒,甚至可以說不亞於當年數學生幾乎人手一套的多卷本課外參考書、蘇聯數學家菲赫金哥爾茨(Gregory Mikhailovich Fichtenholz,1888-1959)的名著《微積分學教程》。我的同班同學田剛在本科階段大概做了兩萬多道習題,打下了他後來出色數學人生的基礎。但是他現在被記者採訪時並不贊成目前的大學生做那麼多的題目,被訓練成一臺“做題機器”,活像喜劇大師卓別林(Charles Chaplin,1889-1977)在經典影片《摩登時代》中留下的那個“捲進機器”的誇張形象。中國的高中生由於高考的壓力和考上名校的渴望,在18歲前的那幾年主動或被動地不知做了多少道題。但是到了大學階段,很多人做習題的勁頭卻像洩了氣的皮球那樣鼓不起來。這兩種極端都不是聰明的做法。在正常的情況下,怎樣才能“科學地做題”?習題的目的是鞏固概念的理解及加強運用概念的能力,所以做題前倘若還未弄懂概念的內涵,不要完成任務式地做題。好的教科書列出的習題,除了一小部分是用於複習概念或直接應用命題的“常規題目”,還有一批是錦上添花極具挑戰性的精妙題目。有的寫法高超的教科書甚至將帶有提高性的一些結果放在習題部分向讀者下戰書,看誰敢於舉槍迎戰。要敢於嘗試這類題目,而不要做太多的幾乎不要動腦子的“常規題”。這才是提高自己數學水準和未來創新能力的一個好途徑。

與學生時代形影不離的一件東西就是“分數”,自然每個人都像喜歡美一樣地喜歡好分數。考試成績當然是重要的,因為它是學校評估學生這門課究竟學得怎麼樣的唯一採取的途徑,基本上能反映知識掌握的程度。上好的成績單作為記錄在案的讀書歷史,能讓自己一輩子感到高興。我當年全美外文德語考試獲得本系創記錄的高分,從研究生事務主任的秘書手中拿到成績單,走出辦公室時的腳步都有點飄飄然了。儘管匆忙報喜的我被導師的回信嘲弄了一番,心中還是堅信“考高分總比考低分好”。這話自然也不錯,但事實是在過去的33年中,我從未有機會需要讀一篇德文或俄文的數學文章,倒是有一次我特別想讀1950年發表的一個經典遍歷定理的敘述和證明,但文章偏偏是用我看不懂的法語寫的。

在中國大陸,高中畢業生的高考分數,少一分就可能與心儀已久的雙一流大學失之交臂。所以,像衡水中學那種透過極端手法魔鬼訓練取勝的高考高分數製造商,令許多望子成龍的家長佩服之極。在目前的高考體制下,這個分數確實極端重要。然而,正如諾貝爾物理獎獲得者丁肇中(1936-)先生說過的,他沒有發現哪個諾貝爾獎獲得者(自然包括他自己)曾是班上的成績第一名,倒是聽說過有班上最後一名的。這句話很說明問題:讀書的目的不是為了追求成績第一,而是為了追求真理,理解真理,最終走向職場後能夠創造發明,發現真理。如果一個讀書的學生過於看重考試成績而缺乏遠見,整天眼睛只盯著考試所依據的教科書而不勤於閱讀拓廣視野的課外書籍,即便考試成績在班上名列前茅,從長計議可能還是有所遺憾的。一個有鴻鵠之志的學子,想到的應是博覽群書,為十年或二十年後的輝煌打下堅實的基礎。

李天巖教授雖然在大學成績拔尖,但他從不把這個記錄看在眼裡。那幾年他時常提醒他的博士生要學到“看家本領”,要具有“真才實學”。回想在南大求學的時代,我慶幸自己並沒有為了取得耀眼的考試成績而學習,而是希望自己像海綿一樣儘量多地吸收有用的知識,堅持不懈地大量閱讀課外書籍已經成了我的習慣,包括數學與人文。平時,我看教科書的時間並不太多。但是每次聽課之前我會大致瀏覽一下老師要講的內容,上課後只顧豎起耳朵認真聽講,卻不做筆記,頂多在教科書的空白處記上突然聽到的超越書本的內容。課堂上專心致志聽講後,我感覺到概念已經融化在我的腦海中。但是去了美國後發現,許多美國教授不按教科書講,或者乾脆不用教科書,只列出幾本參考書,全憑他的三寸不爛之舌兜售知識,於是我“改邪歸正”開始記課堂筆記了,然而我更喜歡這樣的不按部就班授課卻鼓勵學生不停思考的教授。

如果我們再次回放李天巖教授的三大數學貢獻,就會發現他在博士生時代就對幾個不同的數學領域均有涉獵,令人驚奇。我在國內只懂他的一項工作,但是來美后深深受他影響,不囿於精通一門手藝,而是設法做到對他的研究成果“胸中有數”。這大概也給他留下了較好印象,以至於在正式工作後僱主大學幫我辦綠卡時,我從人力資源處看到的他給我寫的推薦信中說,在其所有的學生中,“他是唯一對我所有研究領域都瞭解的一個。”

學會了怎樣讀書,對於那些希望今後從事研究探索事業的人,就對邁出治學第一步提供了堅實的基礎。

書評

情到深處自然濃 意到濃時怎忍舍

——推薦《走出混沌——我與李天巖的數學情緣》

撰文 | 王濤

(中國科學院自然科學史研究所)

李天巖(1945-2020)教授在中國有著極高的知名度,甚至一般的讀者也知道他的大名。他的論文《週期三意味著混沌》太有名了,普林斯頓高等研究院的戴森(F。 Dyson)在他著名的演講文《鳥與蛙》中,稱其為數學文獻中的不朽珍品。能做出一個這樣的成果就足以青史留名了,而李天巖除此之外還有其他兩項傑作——對“氫彈之父”烏拉姆(S。 Ulam)的一個數學猜想的證明,以及對荷蘭數學家布勞威爾(L。 Brouwer)的著名不動點定理的構造性證明,從而一舉奠定了他在混沌動力系統與同倫延拓演算法這兩個領域中的學術地位。

作為李天巖的弟子,美國南密西西比大學數學系的丁玖教授對他的導師懷有深厚的感情,曾多次向國內的讀者介紹李天巖的數學成就、治學思想與頑強意志。李天巖逝世後丁玖悲傷到幾乎不能自已,他翻閱了珍藏多年的日記以及35年來兩人的通訊記錄,回憶起過往的點點滴滴,在友人的建議與讀者的期待中奮筆疾書,用兩個半月的時間完成了這部泣血之作——《走出混沌:我與李天巖的數學情緣》(以下簡稱《走出混沌》)。

《走出混沌》以歷久彌新的科學概念“混沌”作為標題,這也是李天巖最主要的標籤。李天巖是如何發現混沌的?背後都有哪些精彩的故事?數學家出身的丁玖兼有科學史家的視野與科學作家的文筆,他時常從歷史的線索出發,用優美的文字將李天巖的數學貢獻以及與之相關的數學理論講得簡單明瞭、清澈見底,使讀者能夠“走出混沌”。可以說,這部著作是一本關於李天巖的半生傳記。最令讀者動容的也許是李天巖的堅強意志,他與病魔戰鬥了大半輩子,卻從不放棄希望。中國科學院的嚴加安院士詠詩讚曰“堪比文壇史鐵生”,香港城市大學的陳關榮教授還因此發明了一個成語——“天巖鐵生”。

不過,傳記並不是本書唯一的主題。如副標題所顯現的,作者與恩師的數學情緣才是本書的核心所在。這本書給讀者提供了一個難得的、瞭解數學家師生之間感情的案例。通讀全書,讀者會發現作者與李天巖的“情緣”可謂是“父子之情”與“戀人之緣”。

本書的前半部分主要講述作者如何成為李天巖的學生。兩位主人公一位在中國的南京大學,另一位在美國的密歇根州立大學。在20世紀80年代,要想成為李天巖的學生,作者還真需要點緣分,這樣才能“有緣萬里來相會”。幸運的是,同倫曲線充當了鵲橋,作者與李天巖得以在中國的羊城初次見面。如同戀愛中的少男少女一般,在成為李天巖學生的過程中,作者時常感受到幸福,偶爾也壓力倍增。在透過託福、英語考試、博士資格考試等一眾考驗之後,作者終於在1987年1月成為李天巖的正式弟子。在閱讀過程中,讀者可以感受到作者的真誠,他從未迴避自己遭遇的挫折與失敗,因而本書又是一部充滿價值的回憶錄。

中國人講究“一日為師,終身為父”。如作者在書中坦承的,除了父母之外,就屬李天巖對他的影響最大了。特別是他在留美求學與工作期間,李天巖宛如一位慈祥而又嚴厲的家長,教給他讀書妙法與治學之道。在這個過程中,作者也談到了自己多年來對中美兩國教育和文化的思考與心得。這些內容構成了本書的後半部分。李天巖為了這些“孩子們”可謂操碎了心,既會為他們的偶爾懈怠感到焦慮,又會對他們的不斷成長而感到欣慰,更會手把手地教他們如何做演講特別是面試報告,以便他們畢業後能夠找到一份滿意的工作,成為受歡迎的教學名師。而給筆者留下深刻印象的則是李天巖的故國情懷,他對祖國懷有深厚的感情,教導“孩子們”對待洋人要不卑不亢、不能奴顏婢膝。

閱讀此書,我相信讀者一定會被李天巖的人格魅力所吸引,也會被作者懷念恩師的真情實感而打動。在閱讀過程中,如果讀者能參考作者的另外兩本著作《智者的困惑——混沌分形漫談》《親歷美國教育:三十年的體驗與思考》,則不僅可以加深對李天巖及其數學成就的認識,還能瞭解到更多的有關中、美兩國教育的真諦。

可以告慰李天巖的是,他的學生丁玖寫出了這樣一本精彩的數學文化著作,使得廣大的中文讀者能夠了解到李天巖的精彩人生,讓他的名字深入人心。我們期待,在將來的某一天作者能寫出一部更加完整的《李天巖傳》,這將是送給讀者們的一份更大的禮物。

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