高中數學《5.4 數列的應用》微課精講+知識點+教案課件+習題

知識點:

高中數學《5.4 數列的應用》微課精講+知識點+教案課件+習題

影片教學:

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練習:

1.某商品的價格前兩年每年遞增20%,後兩年每年遞減20%,最後一年的價格與原來的價格比較,變化情況是()

A.不增不減 B.約增1。4%

C.約減9。2% D.約減7。8%

2.某企業在今年年初貸款a萬元,年利率為γ,從今年年末開始每年償還一定金額,預計五年內還清,則每年應償還()

A。 1+γ , 1+γ 5-1)萬元 B。 1+γ 5, 1+γ 5-1)萬元

C。 1+γ 5, 1+γ 4-1)萬元 D。 1+γ 5)萬元

3.隨著計算機技術的迅猛發展,電腦的價格不斷降低,若每隔4年電腦的價格降低三分之一,則現在價格8100元的電腦12年後的價格可降為________元.

4.銀行一年定期儲蓄存款年息為r,三年定期儲蓄存款年息為q,銀行為吸收長期資金,鼓勵儲戶存三年定期的存款,那麼q的值應略大於________.

5.用分期付款的方式購置家用電器一件,價格為1 150元,購置當天先付150元,以後每月這一天都交付50元,並加付欠款利息,月利率為1%。若交付150元后的第一個月開始作為分期付款的第一個月,第20個月付清.則分期付款的第10個月應該付多少錢?全部貨款付清後,買這件家電實際花了多少錢?

6.某人在年初用16萬元購買了一套住房,付現金6萬元,按合同餘款分6年付清,年利率為10%,每年以複利計算,問每年年底應支付出多少元?

課件:

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教案:

一、教學背景

1.教材分析

數列作為一種特殊的函式,是反映自然規律的基本數學模型。 強呼叫函式的背景和研究方法來認識、研究數列。 等差數列和等比數列作為特殊數列,在現實生活中有著廣泛應用,使學生經歷從日常生活中的實際問題抽象出等差數列和等比數列模型的過程,探索並掌握其中的一些基本數量關係,感受這兩種數列模型的廣泛作用,並利用它們解決一些實際問題。

2.學情分析

學生的優點是數學基礎較紮實、解題能力較強,不足是不會提問題,缺乏問題意識和創新意識,這需要在教學中不斷引導和培養。

從認知水平方面,學生已掌握等差數列和等比數列的變化規律,能運用等差數列、等比數列解決簡單的數學問題和實際問題,但遇到綜合情景時,如何用從數學角度進行分析,發現情景中的數學關係,能提問題並創造性解決問題,還需要有強烈的問題意識和建模能力。

學生玩九連環遊戲十天左右,基本掌握瞭解下和裝上的技能,本節課利用九連環遊戲情景,啟發學生髮現問題、提出問題,進行數學抽象,用數學方法解決問題,幫助學生積累數學活動經驗,認識數學模型的作用,提升實踐能力,特別是激發學生求知慾,引發學生主動研究問題,培養數學激情,增強創新意識。

3.教學方法

啟發式、討論式。

二、教學目標

1。 創設遊戲情景,增強數學活動經驗,經歸納抽象建立數列模型,解決相關問題;

2。 培養學生問題意識,突出問題導向,提高問題解決能力,全面提升數學素養;

3。 進一步培養學生自信樂觀積極的品質、鍥而不捨的鑽研精神和嚴謹的科學態度。

三、教學重點難點

1。 教學重點:從數學視角發現九連環遊戲蘊含的數學問題;

2。 教學難點:(1)學生提出各種數學問題過於發散不易集中處理;

(2)學生規則意識和創新意識的辯證發展。

四、教學過程

教學環節(一):介紹連環 引入新課

九連環是一種古老的智力遊戲,歷史悠久,流傳甚廣。 據古代文獻資料記載,早在戰國時期就被髮明,距今已有兩千兩百餘年。

九連環的主體是9個套在劍形環柄上的環,環柄兩端分別叫做柄把和柄釵,環可以從柄釵一端套上環柄或取下,但不能從柄把一端套上、取下。

每個環上都連著一個杆兒,並且左側環的杆兒都穿過相鄰右側環,九根杆兒的另一端被底板連線在一起,從而使9個圓環形成疊錯扣連的關係。

九連環遊戲有很多種玩法,常見的玩法是把環都解下或都裝上,操作過程必須耐心、細緻、且頭腦清醒還要充滿智慧。。

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教學環節(二):引導學生 提出問題

【設計意圖】回顧九連環遊戲過程,引導學生思考遊戲關鍵及獲取遊戲技能的思維過程,積累數學活動經驗,反思認識事物的方法,引導學生從數學視角發現問題、提出問題。

教師設問1:總結九連環遊戲的體驗,你認為最關鍵的是什麼?

解答要點:

(1)認識九連環:

觀察結構規律;主動分析實踐分析實踐;

實踐歸納+驗證+效率

(2)心態平和、耐心細緻、思路清晰、動作協調

教師設問2:結合九連環遊戲,你能從數學視角提出一些問題嗎?

預估問題1:九連環遊戲規則都有哪些?

解答要點:

九個環 “數字化”:把最靠近柄釵端的環叫1號環,依次2號環、3號環、4號環、5號環、6號環、7號環、8號環、9號環。

(1)1號環在任何情況下,可上也可下;

(2)只要1號環和2號環都在上或者都在下,2號環就可解下或裝上;

(3)九連環解下或裝上是互逆的兩個過程,其操作過程正好相反,步數相同。

預估問題2:九連環遊戲的關鍵是哪個環?

解答要點:

(1)應該是3號環,剛開始接觸九連環遊戲時,很難摸索出規律把3號環解下,一旦把3號環解下,那麼4號環、5號環、…、9號環就可以同理解下;

(2)3號環解下(或裝上)只需2號環在上且1號環在下;同理4號環解下(或裝上),只需要3號環在上且1、2號環在下;以此類推。

預估問題3:九連環遊戲至少需要多少步?或者n連環遊戲至少需要多少步?

解答要點:

(1)先定義清楚怎樣算“一步”。 主要問題是1、2號環可以同上或同下,如果從環的個數變化應該是兩個,故計數“兩步”,但如果從操作次數來說只操作了一次,故計數“一步”。 考慮到教學重點,還有時間問題,就統一用第一種方式;

(2)這個問題也是九連環遊戲愛好者共同關心的一個問題,值得研究。

預估問題4:九連環遊戲蘊含著什麼數學關係?

解答要點:

(1)如果八連環會解,則九連環就能解,進而如果七連環會解,那麼八連環也會解,以此類推,遊戲就很簡單了;

(2)環環相連——數列“遞推關係”,究竟是什麼具體關係,值得研究。

預估問題5:九連環在什麼狀態下至少需要的步數為最多?(“最費勁”狀態?)

解答要點:

(1)先考慮“最輕鬆”狀態,即1號環上,其它環都下,思路就能開啟;

(2)究竟是什麼狀態“最費勁”,值得研究。

【說明】問題3和問題4其實是一個問題,在研究問題3的同時能感受到問題4的存在,如果問題4想得很清楚,則問題4也就變得簡單。 因此可以重點研究問題3,順便找一下問題3的答案。 問題5則根據學生現場反應情況確定本節課解決與否。

教學環節(三):建立模型 解決問題

【設計意圖】根據現場情況,可以重點研究問題3。 如果時間允許,可以繼續研究問題5,或者學生分組研究不同問題。 學生將遊戲步數與環數n的關係抽象為數列的項與項數的關係,透過“n連環”遊戲活動,記錄下“n連環”遊戲所需最少步數,並逐步概括其中蘊含的數列遞迴關係。

學生分組實踐,教師巡視,瞭解探究進展情況。

學生展示問題3的研究成果:

預估展示1:

(1)設:解下“n連環”至少需步,當“n-1連環”完成後接下來完成“n連環”新加的步數為;

(2)記錄資料如下表格(學生只需統計到“五連環”就夠):

(3)透過演示,說明表格數字的含義(如4、5、10這三個數字所在的列);

(4)(追問)表格後面的空項,能否不操作遊戲,就能填寫完成?請說明理由。

預估展示2:

(1)設:解下“n連環”至少需步;

(2)建立遞迴模型:

A。

初始狀態為(當n≥3時):

B。先解下前n-2個環需步,然後把n號環解下需1步,再把前n-2個環裝上需步,最後還需要把前n-1個環解下需步即可,所以有;

C。由,可得到下表格。

預估展示3:

(1)設:解下“n-1連環”至少需步,當“n-1連環”完成後接下來完成“n連環”新加的步數為;

(2)建立遞迴模型:

A。初始狀態為(當n≥3時):

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B。

由九連環遊戲規則可知,解與裝步數相同,故與下面狀態同步數;

C。

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要裝上n號環,先解下前n-2個環要步,再上第n個環要1步,再裝上前n-2個環要步,所以;

D。由於,所以可得到下表格。

學生展示問題5的研究成果:

預估展示1:

奇號環在上,偶號環在下;

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分析:這個是錯誤的判斷,可以只分析到5號、3號、1號在上而4號、2號在下的狀態,與5號在上4號、3號、2號、1號都在下作比較即可。

預估展示2:

(1)

9號環在上,其它環在下;

(2)理由簡述:為把9號環解下,需要8號環在上,但在初始狀態中,8號環在下,所以先要把它裝上;為了裝8號環,需要7號環在上,但在初始狀態中,7號環也在下,所以又先把它裝上,…,如此類推,為了把n號環解下,先要把n-1號到1號都裝上,恢復到正常九連環初始狀態:

(3)“最費勁”狀態步數為170+341=511(啟發思考結果為29-1有何隱情?)

五、教學小結

1。數列遞迴是九連環設計的數學原理,數列是重要的數學模型;

2。要有問題意識,會提問題比能解決問題更重要;

3。提個問題,你想知道九連環遊戲模型都有哪些實際應用嗎?

六、佈置作業

1。 研究問題:由本節遞迴關係求通項公式,並探究通項公式和遞迴關係的優劣;

2。 繼續研究課上沒有來得及解決的某問題。

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