黎曼猜想(三)你真的相信全體自然數的和等於-112嗎? | 科技袁人

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西瓜影片:

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本影片釋出於2021年12月3

日,觀看量已超24萬

精彩呈現:

在前兩期節目中,我們介紹了黎曼猜想的背景,即質數分佈問題,以及研究質數分佈的基本工具,即尤拉乘積公式。到目前為止,我們講的都是尤拉的工作,正主黎曼還沒出來呢!

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那麼黎曼究竟做了些什麼呢?黎曼做了很多事情,他的基本目標就是對質數的分佈獲得一個明確的表示式。在這個過程中他做出了一個著名的猜想,就是黎曼猜想。與此同時,他的推導過程有一個副產品也變得非常著名,在普通公眾中的名氣甚至比黎曼猜想還要大得多。這個副產品是什麼呢?就是下面這個式子:

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全體自然數的和等於

-1/12,你八成聽說過這個說法,對不對?!

實際上,我的不少朋友不但是聽說過這個說法,而且是真的相信了,真的是按照字面上理解這個說法。這樣一來,就造成了嚴重的矛盾:自然數依次相加,不是應該越來越大,超過任何限制嗎?怎麼可能得到一個有限的值?更不可思議的是,怎麼還能得到一個負值?正數加正數只可能得到正數,怎麼會變成負數?

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按照這樣想下去,就越想越可怕了。難道常識都是靠不住的?難道數學是一門違反常識的學科?難道數學家是一群陰謀家,他們向大眾隱瞞了許多可怕的秘密?

……

更加令公眾恐慌的的是,還有不少所謂的科普節目沿著這個調調搞了不少大新聞。他們典型的說法就像這樣:

“這個計算是數學中隱藏得最好的秘密之一,數學家之外沒人知道這件事。”

“這是一個驚悚的結果。”

“這確實有悖常識,因為你內心總想讓這個序列停下來,而一旦序列停止,你就再也沒法理解這個結果。”

“在數軸的無窮遠處,蘊藏著嶄新的數學體系等待我們建立。”……

於是乎,我的不少朋友就來憂心忡忡地問我。用他們的話說,簡直是世界觀都要崩潰了!

好吧,我們就借這個機會,向大家講清楚這個所謂

“全體自然數的和等於-1/12”是怎麼回事。還有許多跟它類似的說法,例如所謂“無窮多個1加起來等於-1/2”,“全體自然數的平方和等於0”,都是同樣的道理,我們順便可以一網打盡。

首先,來告訴大家基本的答案:你的常識是正確的,這些說法都是錯誤的。數學並沒有推翻常識。數學家也不是陰謀家,數學家沒有向你隱瞞任何東西。你完全不需要害怕,完全可以保全你的世界觀和安全感。

然後,這些說法雖然是錯誤的,但也並不是毫無意義的胡說八道。只要改造一下,它們都可以變成有意義的。正如那句俗話所說:我覺得我還可以再搶救一下!

搶救什麼呢?就是搶救這些說法中的

“和”的定義。也就是說,如果按照最基本的加和方法,1加2等於3,3加4等於7等等,那麼這些說法都是胡扯。但如果定義一些其他的加和方法,那麼這些說法可以變成正確的。

下面,我們就來講黎曼是在什麼意義上,算出了全體自然數的和等於

-1/12。

在前兩期中,我們已經講過,研究質數分佈的基本出發點是尤拉乘積公式:

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這個公式左邊的

n指的是所有的自然數,1、2、3、4、5等等,右邊的p指的是所有的質數,2、3、5、7、11等等。公式兩端都出現的s是一個變數,當且僅當s > 1的時候,尤拉乘積公式成立。

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數學家經常用大寫的希臘字母

Σ來表示求和,用大寫的希臘字母Π來表示連乘。用這種表達方式,我們可以把尤拉乘積公式簡寫成下面這樣:

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讓我們把尤拉乘積公式左邊的這個無窮級數記為

ζ(s)(ζ是一個希臘字母,發音zeta)。我們再次強調一下,尤拉乘積公式只在s > 1的時候成立,在s ≤ 1的時候是不成立的。為什麼呢?原因我們在上一期節目中解釋了,ζ(1),也就是全體自然數的倒數和,等於無窮大。全體自然數的倒數和又被稱作調和級數(harmonic series),它等於無窮大,換句話說就是,調和級數是發散的。而當s 1的範圍內使用。

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按照尤拉的路線走下去,到這裡基本就結束了,翻不出什麼大浪了。讓我們歡送大神尤拉

~

山重水複疑無路,柳暗花明又一村,我們新一代的大神黎曼出場了!

黎曼一出來,就指出了幾個要點:

一,我們應該把

ζ(s)中的自變數s理解為複數(complex number),而不只是實數;

二,我們可以透過解析延拓(

analytic continuation),讓ζ(s)在s

三,透過對

ζ(s)的研究,我們可以對小於等於某個數x的質數的個數給出一個明確的表示式,在這個表示式中唯一未知的就是ζ(s)的零點的位置;

四,黎曼猜測,

ζ(s)的零點都位於某些地方,這個猜測就是黎曼猜想。

也許你對這四條不能完全聽懂,甚至是完全聽不懂。沒關係,如果你一上來就完全聽懂了,那只有一種可能,就是你本來就知道黎曼猜想是什麼,那麼你也就沒有必要聽我在這裡講了。如果你對黎曼猜想不甚瞭然,那麼我可以告訴你,以上就是黎曼提出這個猜想的基本脈絡。至於這四條具體的意思,我們可以循序漸進地講述。

更有意思的是,考慮到讀者之間數學水平的巨大差異,我會提供若干種不同解析度層次的描述,先講簡略的,再講精細的。就像對藍眼睛島問題,我分成了十個層次來解讀。如果你缺乏基礎,那麼你只看那些簡略的描述就夠了。這至少足以讓你獲得一個正確的大圖景,不會再被那些危言聳聽的偽科普詐唬得世界觀崩潰。而如果你的數學基礎不錯,而且你很有好奇心,那麼歡迎繼續去看精細的描述,這會讓你獲得更多數學的快樂。

當前我們的目的,是理解所謂

“全體自然數的和等於-1/12”。這裡的關鍵在於黎曼的第二條,也就是透過解析延拓,可以讓ζ(s)在s

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這就是我們在上一期中說過的,尤拉

ζ函式升級為黎曼ζ函式。

假如仍然用

s > 1時的定義,那麼ζ(-1)就是全體自然數的和,因為這時n的-s次方就是n的1次方,也就是n。但實際上,ζ(-1)已經不是這麼定義的了,它換了一個定義,在新的定義下,它等於-1/12。所謂“全體自然數的和等於-1/12”,如果要有意義的話,就是這個意思,它說的其實是黎曼的ζ(-1) = -1/12。

如果你問:就其本身而言,全體自然數的和等於多少?答案當然是無窮大了!所以這裡沒有任何矛盾或者陰謀,數學家從來沒有欺騙過你。

有人說,物理學家經常會用到

“全體自然數的和等於-1/12”。沒錯,物理學家確實會在量子場論、超弦理論等地方用到這個命題,但在用的時候他們當然知道這話是什麼意思,是解析延拓的意思,而絕不是字面的意思。只有一些一瓶子不滿半瓶子晃盪的偽科普,喜歡在這裡咋咋呼呼,製造大新聞,嚇唬那些聽風就是雨的naïve的聽眾。報道出了偏差,你們也有責任的好吧!

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如果你不打算探究更多有趣的細節,那麼瞭解到這個程度也就夠了。如果你思考得多一點,你就會問了:解析延拓是什麼意思?

作為一個最簡略、最直觀的理解,解析延拓就是擴大一個函式的定義域,使得它在一些原本沒有定義的地方也有了定義,而在原本有定義的地方跟原來一樣。

具體怎麼做呢?舉一個最平凡、最沒有技術含量的例子,你在

-1

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如果你不打算探究更多有趣的細節,那麼瞭解到這個程度也就夠了。如果你思考得多一點,你可能就會問了:一條線段向外延伸,並不見得一定要按照直線來延伸,也可以延伸成折線、或者圓、或者橢圓、或者拋物線、或者雙曲線、或者任何其他的曲線,這些也都是解析延拓嗎?

回答是:不是!請注意在

“延拓”前面的那兩個字,“解析”。什麼叫做解析呢?在直覺層面,可以認為就是延續原始函式的自然趨勢,自然地過渡到新的區域。從直覺就能理解,如果你不是把一條線段擴充套件到它的延長線,而是擴充套件到其他的任何曲線,這樣的擴充套件方法都很生硬,沒有延續那條線段的自然趨勢,因此這些都不是解析延拓。

實際上,解析延拓的一個驚人的要點就是:一個函式的解析延拓是唯一的!也就是說,在一個比較小的定義域內給定一個函式,那麼在它解析延拓之後,在更大的定義域裡的任何一點都只可能有一個取值,這個取值完全由這個函式在原始定義域裡的表現決定。比如說我們上面那個例子,這條線段解析延拓之後,在

x = 3的地方必然得到y = 3,而不可能得到2或者4或者任何其他的值。

如果你不打算探究更多有趣的細節,那麼瞭解到這個程度也就夠了。如果你思考得多一點,你可能又會問了:對於不像

y = x這麼簡單的函式,如何進行解析延拓?

回答是:解析延拓的一般方法,是透過冪級數(

power series)來進行的。

什麼叫做冪級數?就是冪次越來越高的多項式相加形式的級數,即

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假如一個函式

y = f(x)在某個點x

附近等於一個冪級數,那麼我們就說這個函式在這一點是解析(

analytic)的。這其實就是“解析”這個詞的嚴格定義。

對於前面那個最簡單的例子,

y = x這個表示式本身就是一個冪級數,其中的x

= 0,也就是說它在原點附近等於一個冪級數,其中只有一次項的係數等於1,其他項的係數都等於0。而在原點之外的某個x0附近,你可以把它寫成y = x

+

(x

-

x

),這仍然是一個冪級數,一次項的係數仍然是1,二次及更高次項的係數仍然是0,只是零次項也就是常數項從0變成了x

。所以在

x0附近,這個函式也是解析的。

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對於一個冪級數,一個很重要的性質是它的收斂半徑(

radius of convergence)。也就是說,一個冪級數並不見得總是收斂的,或者說總是能算出一個有限值。如果離中心點x

太遠,冪級數就可能變成無窮大,也就是說發散了。對於

y = x,它的收斂半徑是無窮大,也就是說在任何地方都收斂,這當然是最簡單的情況。讓我們來看一個稍微複雜一點的情況,一個由等比數列組成的冪級數:

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請問,這個等比級數等於什麼?

學過等比數列求和的同學,立刻就知道它的前

k項加起來等於

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現在我們要求的不是前

k項的和,而是無窮多項的和。如果x的絕對值小於1,也就是說-1

k

會趨於

1/(1-x)。而如果x的絕對值大於1,也就是說x > 1或者x

k

也趨於無窮大。很好,這樣我們就知道了原來那個等比級數的收斂半徑等於

1,在這個收斂半徑之內它等於1/(1-x),而在收斂半徑之外它發散,所以這個等比級數的定義域最大隻能到(-1, 1)這個區間。

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有了這些基礎知識的準備之後,這個等比級數的解析延拓就呼之欲出了。在收斂半徑之外,我們就定義它等於1/(1-x)。這樣一來,我們獲得了一個定義域更大的函式,定義域擴大到了除x = 1之外的所有的點,而在原來的定義域(-1, 1)之內跟原來的函式相等。

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為什麼要除掉

x = 1這一點呢?因為x如果等於1,分母1 - x就等於0,整個式子就會變成1/0,沒有意義。如果把解析延拓比喻成搶救一個函式,那麼“我覺得我還可以再搶救一下”,——確實在其他各處都搶救回來了,只有x = 1這一個點不行!

不過對於收斂半徑上另外一端的點,即

x = -1,我們的搶救確實成功了,在這一點可以算出1/(1

-

x) = 1/2。在這裡我們可以做一件有趣的事,就是把x = -1代回到等比級數里,假裝不知道這時函式的定義已經改變了,那麼就會在形式上得到:

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在這裡出現的

1之後交錯減1和加1的級數,叫做格蘭迪級數(Grandi’s series),格蘭迪(Guido

Grandi,1671 - 1742)是一位十七世紀和十八世紀的義大利數學家。格蘭迪級數在歷史上曾經引起熱烈的討論。你覺得,這個級數應該等於什麼呀?等於0?還是1?還是1/2?還是別的什麼?

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實際上,就最基本的意義而言,應該說格蘭迪級數不等於任何一個數,因為它的前

k項的和交替地取值1和0,並不趨於一個極限。但在若干種推廣的意義上,可以說它等於1/2。這裡給出的就是一種推廣的意義,即等比級數的解析延拓。所謂全體自然數的和等於-1/12,也只是在像這樣的推廣的意義上才能成立。

如果你不打算探究更多有趣的細節,那麼瞭解到這個程度也就夠了。如果你思考得多一點,你可能又會問了:黎曼是如何對

ζ函式進行解析延拓的?他為什麼對ζ(-1)得出了-1/12這個結果?

很好的問題!鑑於許多同學們需要時間來消化這堂課的內容,黎曼的具體做法,我們放到下次來講。

背景簡介

袁嵐峰,中國科學技術大學化學博士,中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家研究中心副研究員,中國科學技術大學科技傳播系副主任,中國科學院科學傳播研究中心副主任,科技與戰略風雲學會會長,“科技袁人”節目主講人,安徽省科學技術協會常務委員,中國青少年新媒體協會常務理事,中國科普作家協會理事,入選“典贊·2018科普中國”十大科學傳播人物,微博@中科大胡不歸,知乎@袁嵐峰(

https://www。zhihu。com/people/yuan-lan-feng-8

)。

孫遠

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