倍長中線是八年級幾何構造全等三角形非常重要的方法。它的意思是:延長某一邊上的中線,使所延長部分與中線相等,然後連線相應的頂點,利用中線的性質、對應邊和對頂角相等,用“SAS”證明三角形全等,解決相關問題。
今天這道題,雖不是中線問題,但同樣可以利用倍長中線的結論。
如圖一,在△ABC中,D是AB邊上一點,在AC的延長線上取CE=BD,連線DE交BC於F,若DF=EF,求證:△ABC為等腰三角形。
我們先來分析一下題意,要求證△ABC為等腰三角形,可證明AB=AC,也可證明∠B=∠ACB。
從圖和已知條件來看,我們發現哪一組關係都不能直接證明,這就需要畫輔助線。
如圖二,在BF上找一點G,使FG=CE,連線DG。
在△DGF和△ECF中,FG=CE,DF=EF,而∠DFG和∠CFE是一組對頂角,很容易證明△DGF≌△ECF。
所以∠DGF=∠ECF,CE=DG。
又因為∠DGF與∠DGB是鄰補角,∠ECF和∠ACF是鄰補角。
所以∠DGB=∠ACF。
因為CE=DG,CE=BD
所以DG=BD,△DBG為等腰三角形,∠DGB=∠B
所以∠B=∠ACF,△ABC為等腰三角形。
也可以如圖三,延長BC至G,使FG=BF,連線EG,證明方法與上述相似,不再贅述。