【趣聞】一個數學定理,美妙到難以找到第二個來相媲美對偶原理

越是基本的數學定理,越是美妙,我們來看一個數學中非常漂亮的定理,美妙到都難以找到第二個來相媲美——對偶原理。

對偶原理最先出現在射影幾何當中,平面幾何描述為:

在射影平面中,把一個定理的“點”和“直線”對互換,然後其相對應的性質也替換後,得到的命題依然成立。

該定理的證明極不容易,說到發現過程,我們要追溯到300年前的1640年,16歲的法國數學家帕斯卡(1623~1662),發現了著名的“六邊形定理”。

【趣聞】一個數學定理,美妙到難以找到第二個來相媲美對偶原理

Pascal六邊形定理:如果一個六邊形內接於一條圓錐曲線,則該六邊形的三對對邊的交點共線。

然後到了1806年的,法國一位大學生布列安桑,得到了另外一個著名的“六邊形定理”。

Brianchon六邊形定理:如果一個六邊形的六條邊都和一條圓錐曲線相切,則該六邊形的三對頂點的連線相交於一點。

【趣聞】一個數學定理,美妙到難以找到第二個來相媲美對偶原理

在這之前,數學家已經開始注意到,幾何當中“點線面“之間的神秘聯絡,Pascal定理和Brianchon定理之間的美妙對稱,讓數學家堅信了這之間,肯定存在不為人知的奧秘,並試圖證明“對偶原理”。

對偶原理的特殊性,註定了無法從幾何上得到一般性證明,直到進入二十世紀後,數學公理化的建立,才推動了該原理的邏輯證明。

【趣聞】一個數學定理,美妙到難以找到第二個來相媲美對偶原理

在使用對偶定理前,我們必須有個約定:平面中的直線相交於無窮遠,三維中的平行面共線於無窮遠……。

這純粹是一個數學處理技巧,好比在代數中,我們約定無窮大不是數一樣。

如果沒有這個約定,那麼對偶原理將存在眾多例外;一旦有了這個約定,對偶原理將沒有例外地上升到三維,四維,甚至更高的n維幾何中成立。

然後我們就可以,隨心所欲地操控對偶原理了!

比如:

1、平面內,過兩點只能做一條直線;

對偶原理:兩條線只能交於一點;

2、平面內,不相交的三點,可唯一確定過這三點的圓;

對偶原理:不共線的三條線,可唯一確定相切於這三條直線的圓;

【趣聞】一個數學定理,美妙到難以找到第二個來相媲美對偶原理

在射影幾何中,很多難以證明的定理,經過對偶轉換後,反而更容易得到證明。

而且對偶原理包含的思想,遠不止於數學當中:

1、電磁學中,磁場和電場在某些條件下,也有這樣的對偶性;

2、在電路分析中,並聯和串聯、電容與電抗、電流和電壓,也滿足類似的對偶變換;

3、在邏輯學中,“+“和”-“、“1”和“0”滿足這樣的對偶變換;

……

甚至,幾乎在任何領域,都能找到類似對偶定理的影子,或許這正是一種對稱性的體現,而對稱性普遍存在於我們的宇宙當中。

【趣聞】一個數學定理,美妙到難以找到第二個來相媲美對偶原理

在數學中,對偶原理把真理的對稱性,以非常美妙的形式體現了出來,這也推動著數學各個分支的發展。

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