混種科學中的蝴蝶效應:初始條件的微小變動,導致未來的不可預測

混種科學中的蝴蝶效應:初始條件的微小變動,導致未來的不可預測

混種科學中的蝴蝶效應:初始條件的微小變動,導致未來的不可預測

遇見數學

混沌的特徵:在確定性系統中看似隨機的無規律行為;由於確定性的規律,短期內可預測;又因為蝴蝶效應的不可預測性,長期則無法預測。

混沌:蝴蝶效應

混沌的現象引起了一些微妙的哲學問題,這些問題矇蔽了一些粗心的人。例如,我的幾名學生對蝴蝶效應嗤之以鼻,認為它平淡無奇。我們都知道,小事情確實可以在我們的生活中引起巨大的不同,甚至會影響國家的命運。由於如此多的複雜性、如此多的無法解釋的變數夾雜其中,微不足道的事件有時確實會引發與之不相稱的連鎖反應。下面是一首描述王國沒落的古代詩歌。

斷了一枚釘子,掉了一隻蹄鐵;

掉了一隻蹄鐵,折了一匹戰馬;

折了一匹戰馬,摔死了一位將軍;

摔死了一位將軍,吃了一場敗仗;

吃了一場敗仗,亡了一個國家。

但直到混沌理論出現後,這首詩才得到了廣泛的認同。類似的連鎖反應甚至可以讓最簡單的系統苦惱不已:水輪、旋轉的月球、滴水的水龍頭,這些力學系統中的所有定律都已知,只存在幾個變數。即使在這些系統中,也潛伏著混沌的種子,隨時準備展現它們帶來的驚喜。

另一個微妙之處是:在混沌中,每個點都是不穩定的點。每一刻都是真理的時刻。每一個決定都會產生長期的後果,將你的生活改變得面目全非。當你係襯衫釦子時,你完全無法預知選擇從上向下系還是從下向上系,在其數年後產生的結果會有多麼的不同。我們的生活可能就是這樣的,我們只能沿著一條軌跡前進,所以我們無法知道當我們從下向上係扣子時,命運會發生怎樣的改變。但為了保持心智健康的生活,我們只能相信,幾乎所有的決定都是無關緊要的。電影《雙面情人》(Sliding Doors )就對這種困境進行了探索,影片中描繪了一個女人生活的兩個完全不同的版本,而這兩種不同的命運取決於在遮蔽門關閉時她是否趕上了地鐵。

相比於混沌系統,有節律的系統並不顯現這種對小干擾的過度敏感。拍打一個節拍器,它會斷斷續續地移動,但隨後仍會恢復它持續不斷的嘀嗒聲。雖然這會使計時產生偏差,但這種偏差不會隨著時間的推移而增長。透過下面這個假設,我們可以看得更清楚。有兩個相同的節拍器,初始狀態是同步的,干擾其中的一個,它恢復後就不再與另一個同步,二者之間會有一個固定的時間間隔,這種差異不會增加也不會減小。更普遍的是,當一個非混沌系統受到輕微的擾動,干擾要麼不增加,要麼增加幅度非常輕微,且與時間長短成比例。

有人說,誤差的增長速度不會快於隨時間的線性增速。這裡的要點是如何進行定量計算。誤差的線性增長暗示,混沌系統至少在原理上是可預測的。潮汐、哈雷彗星的迴歸、日食的時間,所有這些都有強烈的節律性,因而可以預測,因為微小的干擾不會迅速增長成為主要誤差。預測非混沌系統的時間每長一倍,其初始狀態的測量精度就要提高一倍。讓系統多執行三倍長的時間,你的測量精度就要提高三倍。換句話講,可預測的範圍也是線性增加的,它與初始狀態的測量精度成正比。

而另一方面,混沌系統有著一種完全不同的表現方式,正是在這裡,我們開始瞭解到蝴蝶效應真正令人喪失信心的含義。成功地預測一個混沌系統狀態的時間長度取決於三個因素:我們可以容忍多大的預測誤差;我們對初始狀態的測量精度的高低;我們無法控制的時間尺度,又被稱為“李雅普諾夫時間”,它主要取決於系統本身的內在動力學特性。

粗略地講,我們能夠預測的時間的極限長度即相當於李雅普諾夫時間,此後,真實初始狀態的測量誤差會滾雪球似的迅速增大,超出可容忍的限度。透過降低我們的預測標準或提高我們的初始測量精度,我們總是可以預測更長的時間。但問題是,可預測的極限總是取決於初始測量精度:如果你想預測兩倍長的時間,且仍要達到相同的精度,那麼它將花費你十倍而不是兩倍的努力。如果你有雄心,想預測三倍長的時間,那麼它將花費 100 倍的努力;四倍長的時間就需要 1000 倍的努力,以此類推。在混沌系統中,所需要的初始測量精度是呈指數級增長的,而不是線性增長。

這種指數級增長是毀滅性的。這意味著在實踐中,無論你的儀器有多好,你能夠預測的時間永遠都不會長於李雅普諾夫時間。李雅普諾夫時間限定了一個極限值,超過了它,便無法得到可接受的預測。對於一個混沌電路,極限值大約為千分之一秒;對於天氣,極限值是未知的,但通常來說是幾天的時間;對於太陽系,極限值則是 500 萬年。

太陽系的極限值如此之久的原因是,行星的運動在我們今天看來是完全可以預測的;在人類生命的時間尺度上,甚至整個天文學史中,它們都是可預測的。當我們計算數百年前或數百年後的行星位置時,我們的預測是可靠的。但任何關於 40 億年前,即地球上剛剛出現生命的時候的行星位置說法,都是毫無意義的。

混沌的最後一個微妙之處與潛伏在其中的一種奇怪的秩序相關。混沌不是無形的(再次宣告,不要理會這個詞語的通常意義)。對於它底層結構的暗示表現在了玩具水輪的運動中,伴隨著它永不停息的旋轉和反向。儘管序列從不會完全重複,但它的總體特徵保持不變。混沌擁有永遠不會改變的品質,這是混沌的本質。

▲ 愛德華·諾頓·洛倫茨(1917年5月23日-2008年4月16日),美國數學與氣象學家。混沌理論之父,蝴蝶效應的發現者。

早在 20 世紀 60 年代初,當洛倫茨分析他的小模型時,就將混沌的本質具體化了。它呈現出一種怪異而又陌生的形狀,而不是一個表面,也不是一個固體的體積。當時,現代計算機圖形學尚未問世,將混沌視覺化絕非易事。甚至洛倫茨在腦海裡想到了它的樣子之後,還在掙扎著想找到恰當的語言描述其獨特的幾何形狀。他將其描述為“表面無限複雜”,今天我們把它稱為“奇怪吸引子”。

正如圓形是週期的形狀,奇怪吸引子則是混沌的形狀。奇怪吸引子存在於一個被稱為“狀態空間”的抽象的數學空間中,它的軸代表一個物理系統中的所有變數。洛倫茨方程涉及三個變數,所以奇怪吸引子存在的狀態空間是三維的。對於水輪——洛倫茨方程的精確力學模擬,其中一個變量表示了輪子旋轉的速度和方向,而另外兩個變數則表現了水如何分佈在輪子邊緣的兩個特定的特徵。這些變數在任意瞬間的數值定義了狀態空間中的一個點,對應於系統在任意時刻的頻閃照片。

在下一時刻,隨著輪子的旋轉、水的流動及重新分配,狀態會發生改變。從一個狀態變化到另一個狀態,系統伴隨著自身的動力學特性而演化,由自己的動力推動前進。就像阿瑟·默裡(Arthur Murray)舞蹈課中的圖解,洛倫茨方程是決定下一步走向何處的規則。它們決定了狀態空間中每個點上無限小的箭頭的方向。無論轉到了哪種狀態,它必須遵循那一點的箭頭方向,這將它立即帶到了一個新的點上。隨著那個瞬間的箭頭方向,它會前進到下一點,以此類推。隨著時間的推移和變數數值的變化,這個點穿越了狀態空間,遵循著一個被稱為“軌線”的連續路徑,就像數學家頭腦中的彗星在假想的空間中執行。這個想法的美麗之處在於,它將動力學特性轉化成了幾何學。混沌運動變成了我們可以看到的影象,一幅我們可以凝視、檢查和研究的靜態影象。

混沌是什麼樣的?軌線永遠在狀態空間中四處遊蕩,它永遠不會閉合或交叉,因為混沌從不重複。洛倫茨可以證明,他的軌線永遠被限制在一個特定的大球體內,所以它永遠不會逃逸到無限空間中。軌線被困在這個球裡,永遠在球中無趣地四處遊蕩,它必須遵循一個非常複雜的路徑。我們渴望把它描繪成一個由混亂的線段纏繞成的球體,雜亂無章,沒有任何結構。

但是洛倫茨原始的計算機圖象表明,軌線以一種高度組織的方式運動,只運動到了可移動空間中的一小部分。事實上,它似乎被吸引到了一個特定的表面上——一個纖弱、微觀的薄膜,更巧的是,其形狀像一對蝴蝶的翅膀。軌線環繞在一隻翅膀上,以螺旋形狀離開中心。當它接近翅膀邊緣時,它就會飛奔到另一隻翅膀上,並再次開始以螺旋形狀離開中心。軌線會在每隻翅膀上畫上不計其數的螺旋線,然後跳到另一隻翅膀上,就像水輪在反向旋轉之前沿著一個方向旋轉的次數不可預測一樣。

正當洛倫茨努力想搞明白計算機告訴他的意思時,他了解到了有些事情一定是錯的。他知道軌線不可能被限制在一個表面上:這樣就無法避免軌線出現交叉。蝴蝶的翅膀可能看起來像一個單一的表面,但它們實際上必須建立在無限層上,它們緊密堆積在一起,難以區分,像一層層的雲母片。

這個無限複雜的表面——奇怪吸引子,包含了一種新的有序。雖然軌線的運動細節不可預測,但它總是停留在吸引子上,總是穿過相同的子狀態。它有限的本領解釋了混沌中隱藏的秩序,並解釋了為什麼它的本質永遠不變。

上文節選自湛廬文化《同步:秩序如何從混沌中湧現》, [遇見]已獲授權。

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