qp≠pq,海森堡發現力學量不滿足乘法交換律

海森堡成長過程中最關鍵的那幾年,他遊走在量子力學的金三角,先是師從索末菲,畢業後不是在給波恩當助手,就是去波爾的研究所學習;

在這三個地方,他學到的數學、物理學,還有最新、最前沿的量子理論,還從泡利那裡學到了一個關鍵的思想,物理學應該從可觀測的量入手,來建立最基礎的理論,他要拋棄舊量子論中那些不自然的假設,把不可觀測的量從原子模型中剔除。

qp≠pq,海森堡發現力學量不滿足乘法交換律

那麼哪些量不可觀測,哪些量是不自然的假設?比如像玻爾說的電子軌道,它不可觀測,誰也沒有真正見過電子在軌道上繞著原子核執行,原子模型中所有的量化條件都是不自然的假設,比如玻爾說,電子軌道的角動量是量子化的,那麼你的理論基礎是什麼?沒有理論基礎的假設都不自然。

而在海森堡的眼裡,想要研究原子模型,唯獨兩個物理量是可觀測,第一個就是原子發射光譜的頻率,也就是軌道之間的能級差,第二個就是根據發射光譜的強度,可以算出電子從一個軌道躍遷到另外一個軌道的機率。

海森堡決定從這兩個可觀測的量入手,去建立一個更為基礎的理論,並且給出數學語言的描述,而且這個數學語言要能夠很自然的推倒出電子所有的量化條件,也就電子的性質,不需要任何假設。

qp≠pq,海森堡發現力學量不滿足乘法交換律

1925年4月,當他回到哥廷根以後的一個多月,海森堡因為花粉過敏讓他的臉腫得跟豬頭一樣,他不得不離開哥根廷,於6月7號逃往一個沒有花草樹木的石頭島上避難。

放鬆的心情,以及一望無際的大海,讓他的思緒迸發,一腳踹開了量子力學的大門。海森堡先是把氫原子中可能出現的所有頻率的光,透過記賬的方式寫成了一個數列。

假如,氫原子中的電子只有三個可能的能級,也就是n=1、2、3,電子可以在這三個軌道上來回的躍遷,那麼這三個能級所能包含的所有光譜頻率就包括:ν11 v12 v13 v21 v22 v23 v31 v32 v33。

qp≠pq,海森堡發現力學量不滿足乘法交換律

很明顯,v11,v22,v33是0,因為是同一軌道,v12,v13,v23,是低軌道到高軌道的躍遷,需要吸收能量,所以這些譜線,可以在吸收光譜中找到,剩下的v21,v31,v32,是從高軌道到低軌道的躍遷,屬於發射光譜。

當然我們只寫了三個軌道可能的發射頻率,如果考慮更多的軌道,這些發射頻率也可以寫成一個數組,我們用vmn表示,

並且根據光譜的強度,可以寫出另外一個,關於每個頻率發射機率的陣列,用amn表示,這兩個陣列就是原子中可觀測的兩個物理量。

現在海森堡需要做的是,根據這兩個數列找出和牛頓力學中對應的物理量,並且把這兩個物理量也寫成數列的形式。

qp≠pq,海森堡發現力學量不滿足乘法交換律

所以他要想出一個經典物理學和量子世界相互關聯的橋樑,那麼這個橋樑是啥?簡諧振子,他假設數列中不同頻率的光譜線,都是由不同頻率的振子發射出來的,每個簡諧振子的振動頻率都對應特定頻率的光譜線。

而每個振子都具有特定的動量,以及偏移平衡位置的位移,因此海森堡成功地將量子世界的問題引入了經典物理學。

在他的想法中,每一個物理量都要寫成一個數列,當然振子的動量和位置也不例外。所以海森堡就寫出了所有振子的動量數列,用P頭上加個帽子hat表示,以及振子的位置數列,用q^表示,這裡的^代表了算符中的一種,只是用來區分量子力學的物理量和經典力學的物理量。當然我們見過的算符比較多,比如√,取平方根,()*取複共軛,d/dx作一階倒數等等。

這也是量子力學中的一個基本假設,描寫物理系統的每一個力學量,都對應一個線性算符,線性算符指的是,算符對物理量的運算是線性的,線性方程還記得吧,只有加減乘除的方程,比如y=3x+5,這就是線性運算。

這裡大致瞭解下就可以,畢竟我們不會用到量子力學去買菜。

qp≠pq,海森堡發現力學量不滿足乘法交換律

我們接著說海森堡,當他寫出動量和位置的數列以後,發現了一個了不得的事情,數列q乘以數列p,竟然不等於數列p乘以數列q,說人話就是,qp≠pq,這跟我們常見的乘法規則相違背,我們知道3乘5永遠都等於5乘3,這叫滿足乘法交換律。

但是海森堡發現的數列的乘法不滿足交換律。也就是說qp-pq≠0,那麼到底等於多少呢?海森堡在這裡卡住了,他完全搞不懂這個奇怪的乘法。

心急如焚的海森堡立馬殺了回來,在6月19號先是找了泡利說了他的想法,泡利對這位老朋友給出了肯定和鼓勵。

qp≠pq,海森堡發現力學量不滿足乘法交換律

6月底海森堡就把自己的想法寫成了一篇論文,給泡利寄了一份,也給了波恩一份,波恩的數學那是相當了得,他很快就看出了問題所在,那個神秘的乘法。

他總覺得海森堡寫的數列,以及這個不可對易性的乘法非常眼熟,就是想不起了在哪裡見過,某天早上剛起床,波恩就想起了他還是學生的時候,聽過一個講座,裡面說到的矩陣,以及矩陣所滿足的運演算法則,就是海森堡論文中提到的數列,以及這個不滿足交換律的乘法。

矩陣以及矩陣的運算,是19世紀英國的數學家凱利發明了,在矩陣中確實乘法是不滿足交換律的,而且在數學領域也給出了證實,但是這種數學形式基本上沒有用武之地,所以除了極少數的數學家以外,絕大部分的物理學家都不懂矩陣,甚至都沒聽過還有矩陣這玩意。

也就是說,海森堡在解決量子問題的時候,又重新把矩陣發明了一遍,當波恩告訴他,你寫的這是矩陣,海森堡一臉懵,他根本沒聽過矩陣。

雖然波恩知道這是矩陣, 也知道為什麼不滿足乘法交換律,但是要把這個冷僻的數學形式用在解決量子問題上,並且建立一個邏輯自洽的理論框架,波恩還是覺得自己一個人能力有限。

qp≠pq,海森堡發現力學量不滿足乘法交換律

他想找個人幫忙,首先想到的就是泡利,他覺得泡利這個人能力很強,但是卻忘了泡利的嘴也很厲害,很顯然他拿著熱臉貼了冷屁股。泡利不僅拒絕了波恩,還懟了他幾句,說:你不要動人家海森堡的東西,你那無用的數學會破壞人家的物理思想。

這話說得夠重的,要知道波恩也算是泡利的老師,不過波恩已經習慣了,他覺得泡利就是那種人,不和他一般見識。不過說真的,泡利因為他的嘴,讓自己錯失了很多發現。

失望的波恩又去找了自己的一位學生,他叫約當,以前是學數學的,後來才跟著波恩學習物理學,波恩清楚約當的能力,而且他非常精通矩陣。

兩人合作,很快就把q和p用矩陣公式聯絡了起來,這就是矩陣力學的基本公式,pq-qp=(ih/2Π)I,其中的小寫的i代表了虛數-1的平方根,h是普朗克常數,大寫的I代表單位矩陣。

有了這個公式,就可以自然地推匯出玻爾原子模型中的那些量化條件,10月中旬海森堡從外地講課回到了哥廷根,他也參與到了其中,量子力學中所有的內容很快就建立了起來。

11月份,一篇邏輯一致的《量子力學的基本方程》發表在了《物理期刊》上,史稱三個人的文章,因為這篇文章是海森堡、波恩、約當三個人寫的。

qp≠pq,海森堡發現力學量不滿足乘法交換律

海森堡獨自發表的那一篇論文史稱”一個人的文章“,為什麼要這樣稱呼?因為矩陣力學剔除了視覺化的圖形,人們在腦海中無法想象原子中到底發生了什麼?只能透過數學去把握。

而且矩陣力學這種數學形式非常抽象,難懂,導致用它解決實際問題的時候非常困難,很多的物理學家之前都沒接觸過矩陣,所以不得不惡補矩陣數學,他們覺得新的量子力學太難了。可能只有他們幾個寫文章的人懂吧,所以稱他們的論文為“三個人的文章”。

就拿泡利來說,當他把矩陣力學用在解釋氫原子光譜的時候,他也不得不調動所有的腦細胞,花了兩個星期的時間才完成。泡利當如此,更不用說其他人了。而且這還是最簡單的氫原子,其他更復雜的原子,可想而知。

當時所有的人都覺得海森堡的矩陣力學把他們壓得喘不過氣,愛因斯坦直接說,海森堡他們是靠著魔法在進行計算。足以見得矩陣力學是地獄般的難度。

不過,當所有人都頭疼的時候,沒等幾個月,量子力學的另外一個版本出現了,它是薛定諤的波動力學,所有的物理學家像是看到了闊別已久的愛人一樣,歡呼雀躍。

而這時的海森堡,像是被人搶了孩子一樣,憤怒,無助。最嚴重的時候,海森堡說他想起薛定諤的波動力學,就犯惡心。

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