高中數學《4.1.2 乘法公式與全機率公式》微課精講+知識點+教案課件+習題

知識點:

1。 條件機率公式

設A, B是兩個事件,且P(B)>0, 則在事件B發生的條件下,事件A發生的條件機率(conditional probability)為:

P(A|B)=P(AB)/P(B)

條件機率是理解全機率公式和貝葉斯公式的基礎,可以這樣來考慮,如果P(A|B)大於P(A)則表示B的發生使A發生的可能性增大了。

在條件機率中,最本質的變化是

樣本空間縮小了

——由原來的整個樣本空間縮小到了給定條件的樣本空間。

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2。 乘法公式

2。1 乘法公式

由條件機率公式得:

P(AB) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)

上面的式子就是乘法公式。

2。2 乘法公式的推廣

對於任何正整數n≥2,當P(A1A2。。。An-1) > 0 時,有:

P(A1A2。。。An-1An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)。。。P(An|A1A2。。。An-1)

3。 全機率公式

3。1 前提假設

設B1,B2,。。。。為有限或無限個事件,它們兩兩互斥且在每次試驗中至少發生一個,即:

不重,Bi∩ Bj= (不可能事件)i≠j ,

不漏,B1∪B2∪。。。。 = Ω(必然事件)。

圖1:B1- Bn是對S的一個劃分

這時,稱事件組 B1, B2,。。。是樣本空間S的一個劃分,把具有這些性質的一組事件稱為一個“完備事件組”。

設 B1, B2,。。。是樣本空間S的一個劃分,A為任一事件(圖1中紅圈內部區域),則:

上式即為全機率公式(formula of total probability)

也可以分為兩步來看全機率公式:

圖2:分兩步看全機率公式,S先被劃分為n個子集B1- Bn,然後每個子集的發生會對A的發生產生不同程度的影響

在運用全機率公式時的已知未知條件為:

劃分後的每個小事件的機率,即P(Bi), i = 1, 2, 。。。, n;

每個小事件發生的條件下,A發生的機率,即P(A|Bi), i = 1, 2, 。。。, n;

求解目標是計算A發生的機率,即P(A)。

3。2 意義

全機率公式的意義在於,當直接計算P(A)較為困難,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,。。。)的計算較為簡單時,可以利用全機率公式計算P(A)。思想就是,將事件A分解成若干個小事件,透過求每個小事件的機率,然後相加從而求得事件A的機率。

而將事件A進行分割的時候,不是直接對A進行分割,而是先找到樣本空間S的一個劃分B1,B2,。。。Bn,這樣事件A就被事件AB1,AB2,。。。ABn分解成了n部分,即A = AB1+ AB2+ 。。。 + ABn, 每一Bi發生都可能導致A發生相應的機率是P(A|Bi),由加法公式得

P(A) = P(AB1) + P(AB2) + 。。。。 + P(ABn)

= P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + 。。。 +P(Bn) P(A|Bn)

影片教學:

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練習:

1

。甲、乙、丙三個車間生產同一種產品,其產量分別佔總量的25%,35%,40%,次品率分別為3%,4%,2%。從這批產品中任取一件,則它是次品的機率為()

A。0。012 3

B。0。023 4

C。0。029 5

D。0。045 6

2

。設某醫院倉庫中有10盒同樣規格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產的,且甲、乙、丙三廠生產該種X光片的次品率依次為,現從這10盒中任取一盒,則取得的這盒X光片是次品的機率為()

A。0。08

B。0。1

C。0。15

D。0。2

3

。設有5個袋子中放有白球,黑球,其中1號袋中白球佔1/3,另外2,3,4,5號4個袋子中白球都佔1/4,今從中隨機取1個袋子,從所取的袋子中隨機取1個球,結果是白球,則這個球是來自1號袋子中的機率為()

A1/4

B1/3

C1/2

D2/3

4

。一道考題有4個答案,要求學生將其中的一個正確答案選擇出來。某考生知道正確答案的機率為1/3,若不知正確答案,則學生會亂猜。在亂猜時,4個答案被選擇的機率均為1/4,如果他答對了,則他確實知道正確答案的機率是()

A1/3

B2/3

C3/4

D1/4

5

。電報發射臺發出“·”和“–”的比例為5∶3,由於干擾,傳送“·”時失真的機率為2/5,傳送“–”時失真的機率為1/3,則接受臺收到“·”時發出訊號恰是“·”的機率為。

課件:

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教案:

【教學目的】

根據《教學大綱》要求和學生已有的知識基礎和認知能力,確定以下教學目標:理解並熟練掌握全機率公式及其應用。

【教學思想】

1、全機率公式,是加法原理與乘法公式的綜合運用,蘊含了“化整為零、積零成整”、化複雜為簡單的辯證法教學思想,將受多個因素影響的複雜事件機率分解成若干個簡單事件機率之和。

2、全機率公式的“全”的含義是指對目標事件有機率貢獻的全部原因,需要將所有的可能性都考慮進來。

3、事件的機率是該事件受到多個因素影響後的綜合表現,因此,全機率公式中的本質上是一種平均機率,是對條件機率 的加權平均, 其權重就是作為條件的事件發生的機率。

4、“以教師為主導、以學生為主體”引導學生主動學習、思考,並透過實際問題案例的分析及應用,達到教會學生使用全機率公式來解決實際問題的目的,體現“授人以漁”。

【教學分析】

1、本次課主要包括以下內容:

(1)回顧條件機率公式和乘法原理,分析引例;

(2)全機率公式及證明;

(3)全機率公式的應用。

2、重難點分析:

全機率公式主要用於計算受多個事件影響的複雜事件的機率,其原理是利用這些影響事件所對應的劃分,將所求事件分解後再利用乘法原理計算各影響事件的機率“貢獻”之和。全機率公式的應用蘊含了利用“化整為零、積零成整”、將複雜問題簡化的思想,故為本次課的重點。

全機率公式的難點在於其應用。對某具體問題,學生一般不知道或不容易分析出該問題可以利用全機率公式來進行求解。需要透過例項分析,使學生認識到:對於多個事件均對所求事件機率有機率貢獻的問題,可以採用全機率公式來解決。

【教學方法和策略】

黑板板書結合PPT演示,採用啟發式、提問式教學,引入一個學生熟悉的摸球試驗,先從特殊到一般,由表及裡、層層遞進、步步設問,再從一般到特殊,利用例項引導學生主動思考,達到理解並掌握知識點的目的。

【教學安排】

引入(4分鐘):

引例:袋中有2個紅球與三個黑球。每次從袋中任取一個球,取出的球不再放回,連續取兩次。記A=“第二次取得紅球”,求第二次取得紅球的機率P(A)。

利用只有兩個影響因素的簡單例題(摸球問題)推匯出全機率公式的簡單表示式,在PPT上顯示分析過程:

分析:

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透過提問啟發學生從該結果中總結規律:

強調:表示式雖然形式上比較複雜,但更能體現摸球實驗的先後次序,實際算起來卻很簡單。進而,透過提問引導學生對其推廣到一般情況的思考(由特殊到一般):

1、對A的機率有影響的事件為n個(B1、B2、…、Bn)時,是否有類似的表示式?

2、需要滿足什麼條件?

利用對1、2問題的回答,引出劃分和全機率公式。

對引例的分析要抓住這類問題的共同特點:多個事件對所求事件機率都有機率“貢獻”,並類推得出全機率公式。

教學內容(13分鐘):

1、回顧劃分(完備事件組)的概念,指出這是全機率公式成立的條件之一。

關於劃分,由2個事件相互對立,推廣到n個事件時,要注意透過兩者之間的共性,實現教學內容之間的銜接:

(1);

(2)

2、黑板板書全機率公式的定理及其證明。

首先在黑板上寫出該定理。

定理(全機率公式):設事件B1, B2, … ,Bn為樣本空間Ω的一個劃分,且P(Bi)>0, (i =1, 2, …,n), 則對任意事件A Ω,有

與引例的分析做類比,引例中的表示式即為全機率公式在n=2時的特例,引導學生思考能否根據引例的分析過程類推得出全機率公式的證明。

給出全機率公式的證明過程(板書書寫)。

證明:由 BiB=ф (i≠j),Ω=B1+B2+…+Bn,得 A=AΩ=AB1+AB2+…+ABn

證明完畢後,結合PPT演示,說明全機率公式的數學思想:全機率公式是對加法原理和乘法公式的綜合運用,蘊含了“化整為零、積零成整”、化複雜為簡單的數學思想,將受多個因素影響的複雜事件機率分解成不同影響因素對應的簡單事件機率之和。

3、透過對具體例子(產品抽樣檢查問題)說明全機率公式的應用方法(一般到特殊)。

例1(產品抽樣檢查)設倉庫中共有10箱產品,其中甲、乙、丙三廠各有5、3、2箱,且已知甲、乙、丙三廠的次品率分別為10%、15%、20%,現從中任取1箱,再從該箱中任取1件產品,求取得次品的機率。

主要包括:

(1)問題分析:這類問題的特點,分析為什麼可以用全機率公式求解。所取得的產品可能由甲、乙、丙中任何一個廠生產,但是不同廠家的次品率不同,因此,該產品為次品的機率受到甲、乙、丙三廠的綜合影響,每個工廠都有機率“貢獻”,因此應考慮運用n=3的全機率公式。

(2)求解步驟:事件的描述,公式中各機率的計算。在黑板上寫下求解過程:

解:設A=“任取一件為次品”,

B1、B2、B3表示所取得的產品分別由甲、乙、丙三廠生產,

= 0。5×0。1+ 0。3×0。15 + 0。2×0。20

= 0。135

注意:在求解過程中,要引導學生思考全機率公式中各項機率(特別是條件機率)該怎麼計算,加深對全機率公式應用的認識。

(3)問題總結:應用全機率公式的關鍵在於對所求事件A有機率貢獻的全部原因要分析清楚,將所有的可能性都考慮進來,公式中的條件機率是根據實際情況直接得到的,不是利用條件機率公式計算的。

思考與討論(2分鐘):

1、引導學生觀察全機率公式中的條件,提問“是不是一定要滿足”引發學生思考:全機率公式中的條件是否可以削弱為, ?回答是肯定的。要求學生參考全機率公式的證明過程,自行完成在該條件下定理結論的證明。

2、透過提問:在產品抽樣檢查例題中,若取得的產品為次品,問該產品是最可能由哪個廠生產?

引導學生主動思考並分析出這類問題的特點:已知結果,推斷原因。為下一步學習後驗機率和Bayes公式做鋪墊。

內容小結(1分鐘):

總結本節課的學習的知識要點:

1、全機率公式體現了一種複雜問題簡單化的“化整為零、積零成整”的思想,運用全機率公式的關鍵在於:找到對目標事件有機率貢獻的完備事件組。

2、全機率公式所謂“全”是指:考察對所求事件A有機率貢獻的全部原因,將所有的可能性都考慮進來。

3、事件A的機率是其受到多個因素影響後的綜合表現,P(A)本質上是對A在不同條件下發生的條件機率P( A | Bi) 的加權平均,權重為P(Bi)。

課後延伸:思考與討論1中結論的證明,由學生自行完成。

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