輕輕鬆鬆掌握微分學和積分學方法

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高等數學是高等學校工程類及經濟管理類數學最核心最重要的基礎課程,尤其在全國碩士研究生招生考試數學試題中高等數學佔比最重(數學一、數學三佔56%,數學二佔78%),同時高等數學也是其他數學課程尤其是機率統計的基礎,這裡介紹高等數學的兩大主流體系:微分學與積分學,讓大家瞭解微分學和積分學的理論體系。

極限理論是微積分的奠基石,通俗一點說沒有極限理論就沒有微分和積分,這一點從微分和積分的定義中可以體現出來,如:

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導數的定義

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定積分的定義

一、微分學理論

1、一元函式微分學理論,即導數與微分,目的就是掌握各種求導數及微分的方法,為後繼的一元函式微分的應用及多元函式微分學提供工具。

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2、一元函式微分的應用,主要包括兩個主要內容:中值定理及單調性與極值,這個部分等份內容是微分學的核心。

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3、多元函式微分學理論及應用,這個部分有三個主要內容:

(1)多元函式微分學的基本理論。

(2)各種求偏導數的方法。

(3)多元函式微分學在幾何(空間曲線與曲面相關問題)及代數方面的應用(條件極值與無條件極值)。

二、積分學理論

1、不定積分,這個部分主要掌握各種求函式原函式的方法,為定積分牛頓—萊布尼茲公式計算定積分提供工具。

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2、定積分理論及應用,一元不規則的問題(如:曲邊梯形面積計算、變速運動路程問題、變力做功問題等等),往往需要定積分理論解決,定積分理論包含如下內容:

(1)定積分產生的背景及定積分定義

(2)定積分基本定理

(3)定積分的性質(包括一般性質及特殊性質)

(4)廣義積分(反常積分)

(5)定積分在實際中的應用,包括幾何應用(面積、體積、弧長)及物理應用(功及力)

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3、重積分,平面區域(二元)或空間區域(三元)不規則問題,往往需要二重積分與三重積分理論解決,重積分理論包括:

(1)二重積分(定義、性質、計算方法、應用)

(2)三重積分(定義、性質、計算方法、應用)

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4、曲線與曲面積分,空間曲線不規則問題(質量問題、變力沿曲線路徑做功問題)、空間曲面不規則問題(空間曲面質量、流量問題),需要掌握曲線積分(對弧長的曲線積分、對座標的曲線積分)理論、曲面積分(對面積的曲面積分、對座標的曲面積分)理論。主要包括:

(1)曲線積分:對弧長的曲線積分(第一類曲線積分:實際背景、概念、性質、計算方法、實際應用)、對座標的曲線積分(第二類曲線積分:實際應用背景、概念、性質、計算方法、實際應用)

(2)曲面積分:對面積的曲面積分(第一類曲面積分:實際背景、概念、性質、計算方法、實際應用)、對座標的曲面積分(第二類曲面積分:實際背景、概念、性質、計算方法、實際應用)。

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