楊振寧是如何建立成就他物理地位的楊米爾斯方程的,看此文就懂了!

導讀:楊振寧是如何建立成就他物理地位的楊米爾斯方程的,看此文就懂了。

楊-米爾斯(Yang-Mills)理論,是現代規範場理論的基礎,20世紀下半葉重要的物理突破,旨在使用非阿貝爾李群描述基本粒子的行為,是由物理學家楊振寧和米爾斯在1954年首先提出來的。這個理論對今天的標準模型形成起了重要作用。這一理論中出現的楊-米爾斯方程是一組數學上未曾考慮到的極有意義的非線性偏微分方程。

首先我們還是對這兩位科學家做一個簡單的介紹吧。楊振寧,1922年10月1日出生於安徽合肥,世界著名物理學家,現任香港中文大學講座教授、清華大學教授、美國紐約州立大學石溪分校榮休教授,他還是中國科學院院士、美國國家科學院院士、臺灣“中央研究院”院士、俄羅斯科學院院士、英國皇家學會會員,1957年獲諾貝爾物理學獎;是中美關係鬆動後回中國探訪的第一位華裔科學家,積極推動中美文化交流和中美人民的互相瞭解;在促進中美兩國建交、中美人才交流和科技合作等方面,做出了重大貢獻。

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而另一位科學家全名是羅伯特·勞倫斯·米爾斯(英文:Robert Laurence Mills,1927年4月15日-1999年10月27日),美國物理學家,生於新澤西州恩格爾伍德。

1956年成為俄亥俄州立大學的物理學教授。主要貢獻是與楊振寧合作的楊-米爾斯理論。

1954年,楊—Mills規範場論(即非阿貝爾規範場論)發表。這個當時沒有被物理學界看重的理論,通過後來許多學者於20世紀60年代到20世紀70年代引入的自發對稱破缺觀念,發展成標準模型。這被普遍認為是20世紀後半葉基礎物理學的總成就。

楊振寧和Mills的論文,從數學觀點講,是從描述電磁學的阿貝爾規範場論到非阿貝爾規範場論的推廣。而從物理觀點上講,是用此種推廣發展出新的相互作用的基礎規則。

在主宰世界的4種基本相互作用中,

弱電相互作用

強相互作用

都由楊—Mills理論描述,而描述引力的愛因斯坦的廣義相對論也與楊—Mills理論有類似之處。楊振寧稱此為“

對稱支配力量

”。楊—Mills理論是20世紀後半葉偉大的物理成就,

楊—Mills方程與Maxwell方程、Einstein方程共同具有極其重要的歷史地位。

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很抱歉,沒有找到一張關於羅伯特·勞倫斯·米爾斯照片,他由於後來沒有其他的理論發現,所以沒有楊振寧知名。但是我們依然不應該忘記他。

透過上面的介紹,大家知道了,楊—米爾斯理論也是一個非線性波動方程。這個很重要。

那麼這個理論最初是為了解決上面問題呢?它起源於對電磁相互作用的分析,利用它所建立的弱相互作用和電磁相互作用的統一理論,已經為實驗所證實,特別是這理論所預言的傳播弱相互作用的中間玻色子,已經在實驗中發現。

楊-米爾斯理論又為研究強子(參與強相互作用的基本粒子)的結構提供了有力的工具。

楊振寧和米爾斯發現,量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何物件的數學之間的令人注目的關係。基於楊-米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實:布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。

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儘管如此,他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是沒有被大多數物理學家所確認,並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設,從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

不知道大家發現沒有,看過我物理科普書籍《變化》的朋友一定會想到愛氏的場方程的。愛氏場方程也是很難有確切解,也是非線性波動方程。這和楊—米爾斯理論有很大的相似之處。

一貫的想法讓我不認為這是偶然,所有描述最根本的宇宙方程,都顯示了其深刻的波動性,開放性。這對於前面我們提到的諸多定律,比如波粒二象性,不確定原理等,都有深刻影響。

一起來看看這個方程吧,雖然我們看不懂它。但看和不看是兩個概念。一直不看,永遠看不懂。

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再發一個愛氏的場方程大家看看。關於愛氏場方程的基本認識,大家可以去看看我的《變化》,會有啟發的。

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有一點值得一提,那就是楊振寧的楊—米爾斯理論和愛氏的相對論,都影響很大,但兩個人都沒有因此獲得諾貝爾獎。兩個人都是因為其他理論獲得諾貝爾獎的。

楊是因為和李政道提出“弱相互作用中宇稱不守恆理論”而獲獎。愛氏是因為光電效應理論獲獎。

大家也看到了,由於這個理論的方程是非線性波動方程,所以方程沒有能力為大家講,這也是世界性難題。期待中國的學生,多去研究。

不過為了讓大家理解這個理論,還要補充的。上面說了,楊振寧和Mills的論文,從數學觀點講,是從描述電磁學的阿貝爾規範場論到非阿貝爾規範場論的推廣。

非阿貝爾規範場是為了描述原子核裡的核子們(當時認為就是質子和中子)為什麼會被緊緊拉在一起,而不會被正電之間強烈的排斥力而炸開(質子們帶正電,是互相排斥的),而設想的一種作用力場。

電磁力是由電磁場傳播的。電荷及其運動所形成的電流產生了電磁場,場傳出去後可以作用在遠處電荷和電流上。於是,楊振寧和Mills也設想了一種類似電磁場的別的場來傳遞核力,那就是非阿貝爾規範場。

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這個設想看似容易,其實很難。最重要的是,楊振寧和Mills此時極大地推廣了場和荷的含義。他們設想了一種更為複雜的荷(當然不能再叫電荷了)和它們所產生的場:

這些荷和場都不是普通的實數能表示的,它們是一些矩陣。矩陣的乘法是不能交換的,這種乘法的不交換性叫“非阿貝爾”的,因此也叫非阿貝爾規範場。對那些學過物理的人應該說明的是,學過量子力學的人知道,量子理論裡力學變數可以表示成矩陣。但這裡說的場和荷表示成矩陣不是由於量子化的結果,而是在經典物理的意義上它們就是矩陣。

楊-Mills的那篇文章是1954年發表的。那時這個理論中還有幾個關鍵的問題不能解決(比如質量問題,量子化和重整化之類,這是些更為專業的名詞,只有研究這個方向的理論物理博士們才學的)。而且在隨後的六十年代,物理學界對於用場的觀點描述核力是較為悲觀的,那時別的觀點在物理學家中佔主流。

不過後來,經過幾位物理學家近二十年左右的持續探索,解決了所有原來不能解決的問題。而且,後來找到了別的不同的荷(當時還不知道呢)分別能產生強力和弱力(核力就分這兩種力)。但它們用的數學形式都是類似的,都是楊-Mills理論。

不同的是其中矩陣的大小不一樣:有2乘2的、有3乘3的;如果所用的矩陣是1乘1的,那它就是以前的法拉第和麥克斯韋的電磁理論。到了七十年代末,就知道自然界的所有基本作用力--引力,電磁力,弱力,強力中,除引力外的其它三種力都能用楊-Mills場描述。 這就是可以看出這個理論對物理學的影響有多大了。

楊振寧和Mills所設想的那種古怪的荷叫做同位旋。他們把描述電磁場的麥克斯韋理論做了一個優美而且深刻的推廣,得到一個新方程,後來就叫楊-Mills方程。當然比麥克斯韋方程普遍得多也複雜得多了。至於推廣的方法,是依據了一個來自電磁理論的原理,叫做“定域規範不變原理”。這個我會在下一章給大家做介紹。

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其實過程是這樣,楊振寧從外爾的工作受到啟發,即外爾透過規範不變性建立了U(1)群,輕鬆地得到了麥克斯韋方程,楊振寧就想著,我能不能透過一種規範群來解釋強力,弱力,甚至引力。那麼首先要找到規範對稱性,楊振寧發現強相互作用具有同位旋空間下的旋轉不變性,這不就是一種規範對稱性嗎?這個“同位旋”概念比較抽象,它是海森堡提出來的一個想法,大概就是認為中子和質子是一回事,即質子和中子壓根就是同一種粒子-核子的兩種不同的狀態,它們共同組成了一個同位旋二重態。在抽象的同位旋空間裡,質子可以“旋轉”成為中子,中子也可以“旋轉”成為質子,因為質子和中子在強相互作用下是一樣的。那麼要用這個同位旋守恆來解釋強相互作用,就需要SU(2)群有局域規範不變性。

要把SU(1)推廣到SU(2)首先要解決非阿貝爾規範問題。阿貝爾指的是阿貝爾群(以挪威的天才數學家阿貝爾命名,他最著名的一個理論是首次完整給出了高於四次的一般代數方程沒有一般形式的代數解的證明。這個問題是他那時最著名的未解決問題之一,懸疑達250多年。),它又叫交換群,通俗的講就是這個群裡的運算是滿足交換律的。比如1+5等於5+1。非阿貝爾群自然就是指群的運算不滿足交換律的群,最常見的就是矩陣的乘法。

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這裡值得單獨說說阿貝爾,儘管阿貝爾成就極高,卻在生前沒有得到認可,他的生活非常貧困,去世時只有27歲。

正是

風華正茂啊,可惜了!

凡是讀我這本的書的人,你們一定要記住他,他的故事,因為我在教給你們一個道理——你們要記住自己!不要想著長命百歲,去想著活得精彩。

阿貝爾(Niels Henrik Abel,1802年8月5日─1829年 4月 6日)是十九世紀挪威出現的最偉大數學家。他的父親是挪威克里斯蒂安桑主教區芬杜小村莊的牧師,全家生活在窮困之中。在1815年,當他進入了奧斯陸的一所天主教學校讀書,他的數學才華便顯露出來。經他的老師霍爾姆伯的引導下,他學習了不少當時的名數學家的著作,包括:牛頓(Newton)、尤拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)及高斯(Gauss)等。他不單瞭解他們的理論,而且可以找出他們一些微小的漏洞。

1820年,阿貝爾的父親去世,照顧全家七口的重擔突然交到他的肩上。雖然如此,1821年阿貝爾透過霍姆彪的補助,仍可進入奧斯陸的克里斯蒂安尼亞大學 (University of Christinania),即奧斯陸大學就讀,於1822年獲大學預頒學位,並由霍姆彪的資助下繼續學業。在學校裡,他幾乎全是自學,同時花大量時間作研究。

1823年當阿貝爾的第一篇論文發表後,他的朋友便力請挪威政府資助他到德國及法國進修。當等待政府回覆時,在1824年他發表了他的《一元五次方程沒有代數一般解》的論文,渴望為他帶來肯定地位。論文不僅以數萬字的內容代替了

魯菲尼【也是一位數學家】五百多頁的證明

,甚至還做了許多的補充。

可是他實在付不起印刷的錢,於是數萬字的論文稿再次被壓縮成6頁紙。阿貝爾將這6頁論文寄往各地著名的數學家,希望能夠得到肯定。其中他把論文寄了給當時有名的數學家高斯,可惜高斯錯過了這篇論文,也不知道這個著名的代數難題已被解破。

阿貝爾苦苦等待,卻得不到回覆。所幸一年前發表的第一篇論文為他爭取到了一筆政府的進修資助金。阿貝爾帶上這筆錢,開始造訪各地名家,他在德國柏林拜訪數學王子高斯時,遇到了一生摯友克列爾。

高斯根本不相信阿貝爾能夠用6頁解答這個超級數學難題,只有克列爾感到十分地驚喜。克列爾是個土木工程師,而且對數學很有熱誠,他跟阿貝爾成為很要好的朋友。1826年,在阿貝爾的鼓勵下,克列爾創立了一份純數學和應用數學雜誌,該雜誌的第一期便刊登了阿貝爾在五次方程的工作成果,另外還有方程理論、泛函方程及理論力學等的論文。在柏林,新的數學嚮導使他繼續獨立地進行研究工作,後來阿貝爾更到了歐洲不同的地方。

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高斯

1826年夏天,他在巴黎造訪了當時最頂尖的數學家,並且完成了一份有關超越函式的研究報告。這些工作展示出一個代數函數理論,現稱為阿貝爾定理,而這定理也是後期阿貝爾積分及阿貝爾函式的理論基礎。他在巴黎被冷落對待,他曾經把他的研究報告寄去科學學院,望可得到好評,但他的努力也是徒然。

他在離開巴黎前染頑疾,最初只以為只是感冒,後來才知道是肺結核病。

無奈,他輾轉回到挪威,但欠下不少錢債。他只好靠教書及收取大學的微薄津貼為生。但他的窮困及病況並沒有減低他對數學的熱誠,他在這段期間寫了大量的論文,主要是方程理論及橢圓函式,也就是有關阿貝爾方程和阿貝爾群的理論。他比雅可比(Jacobi)更快完成了橢圓函式的理論。此時,阿貝爾的名聲經已響遍所有的數學中心,各方面的人也希望為他找到一個適當的教授席位,當中克列爾便希望為他在柏林找得一個教授席位。

在1828年冬天,阿貝爾的病逐漸嚴重起來。在他聖誕節去芬羅蘭探他的未婚妻克萊利·肯姆普期間,病情便更惡化。到1829年1月時,他已知自己壽命不長,出血的症狀已無法否認。直至1829年4月6日凌晨,阿貝爾去世了,他的未婚妻堅持不要他人之助照顧阿貝爾,單獨佔有這最後的時刻。

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左圖為阿貝爾未婚妻克萊利·肯姆普。

葬禮後的第三天,阿貝爾的家人收到了他生前的好友克雷爾寄自柏林的一封信及一份柏林大學的聘書,上面寫著:

“尊敬的阿貝爾先生:本校聘您為數學教授,望萬勿推辭為幸!柏林大學。”

阿貝爾去世後,他的老師霍爾姆伯於1839年為他出版了文集。

繼續回到文章標題來,楊振寧的推廣工作並不是一帆風順,直到1954年,他才和米爾斯(當時和楊振寧先生在同一間辦公室,是克勞爾教授的博士研究生)一起寫出了劃時代的論文

《同位旋守恆和同位旋規範不變性》和《同位旋守恆和一個推廣的規範不變性》,就是這兩篇論文,奠定了他的物理學宗師地位。

有的物理學家指出,物理學基本定律可以寫在一件文化衫上(意思是很簡潔)。從牛頓時代開始,物理的主要目標就是描述

物質結構

相互作用

運動規律

。隨著物理學的發展,這個簡單的目標又進一步被簡化了。因為後來知道物質其實也是場,不過是所謂的“量子場”的一種。因此物理學最基本的定律就是描述各種場的運動和它們之間的作用。現在如果要做那樣一件物理學文化衫的話,可以肯定地說,楊-Mills方程是一定應該寫上的。

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有些人提出這類質疑:有的說楊-Mills理論後面的很多進展不是他們做的,是別的物理學家做的,怎麼還說他們的貢獻那麼大。還有的說楊-Mills方程最初的出發點是“錯的”,怎麼還說那麼重要。

前一類疑問很容易解釋。確實楊-Mills理論在物理上取得這麼大的成功,包括了前後好多位物理學家的貢獻。如希格斯,溫伯格,南部一郎蓋爾曼等。其中好幾位得到了諾貝爾獎。

還有數學家,如量子化楊-Mills場的俄國數學家Faddeev和Popov,他們也沒得諾貝爾獎,同樣楊振寧也不是因為提出楊-Mills場得的諾貝爾獎。

如此多人的貢獻,如果整個是由一個人作出來的,那他的成就和愛因斯坦一樣大了,甚至可以說是超過愛因斯坦!愛因斯坦曾經以一人之力建立了相對論。其它的物理理論,如量子力學,特別是後來的量子場論,都是由很多人,有時是經過幾代人很多年的持續努力才建立起來的。

楊-米爾斯理論給我們提供了一個數學框架和思維,在這個框架裡,只要選擇了某種對稱性,後面的相互作用幾乎就被完全確定了,它的規範玻色子的數目也完全被確定了。這就是為什麼後來大家能直接從強力和弱電理論裡預言那麼多還未被發現的粒子的原因。

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也就是說,在楊-米爾斯理論裡,那些傳遞相互作用的粒子都叫規範玻色子,每一個群都有跟他對應的規範玻色子。比如在U(1)群裡,規範玻色子就只有一個,那就是光子;在SU(3)群裡,理論計算它的規範玻色子不多不少就是8個,然後實驗物理學家就根據這個去找,然後真的就找到了8種膠子。

不過最終解釋強相互作用的不是同位旋,而且色荷。因為夸克這個概念要到1964年才由蓋爾曼、茨威格提出來,楊振寧在1954年就算想破腦袋也不可能想到強力是由夸克的色對稱決定的。

後來科學家們也是透過這種思維,將弱力和電磁力統一起來,就是前面提到的電弱統一理論。

此外,關於楊—米爾斯理論這個方程的數學性質的研究至今還是國際上懸賞最高的幾個數學問題之一。比如你可以搜尋“千禧數學問題”,它們是美國克雷數學研究所於2000年公佈的七個數學難題。根據克雷數學研究所訂定的規則,每解破一題獎金100萬美元。這幾個問題是:

1、P/NP問題。2、霍奇猜想

3龐加萊猜想。4、黎曼假設

5、楊-米爾斯存在性與質量間隙

6、納維-斯托克斯存在性與光滑性

7、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想

第五個是楊米爾斯問題的質量問題,大概就是傳遞強力和弱力的玻色子應該是有質量的,有質量才能對應短程力。比如光子沒有質量才是長程力,引力子【沒有發現】也是沒有質量,才是程力。矛盾就出來了,楊振寧這個理論,要使得系統具有局域規範不變性,傳遞作用力的規範玻色子的質量就必須為零。哈哈,大家看出來矛盾了嗎?

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楊振寧先生怎麼可能不知道這個矛盾呢?但他認為這是技術上的事情,一定能解決,所以還是果斷髮表了自己的理論。後來大家就知道了,解決這個問題的是希格斯機制。楊-米爾斯理論要求規範玻色子是零質量的,但是最後我們測量到W和Z玻色子是有質量的,我們想辦法賦予它質量不就行了?也就是說它們的質量不是天生的而是後天賦予的,這樣就既不與楊-米爾斯理論相沖突,也不跟實際測量相沖突了。

上面7個解決其中任何一個問題,你就是擁有最強大腦的人物。知識改變命運,從來不是一句謊言。你相信它,它才能改變你。

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摘自獨立學者,科普作家靈遁者科普書籍《見微知著》

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