你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

有人問我一個非常有趣的問題, “你能將費馬大定理推廣到非整數指數嗎?”。我將在下面解釋這一切,並盡力回答這個問題。

考慮一下這個方程

其中x、y和z是正整數。我們好奇的是,我們能找到這個方程的哪些解?特別是,給定一個固定的n,是否存在x,y,z∈?使這樣的方程成立?

當n=1時,我們只要找到x、y和z的值,使得:

不難看出,這些值有無限多個,比如說:

對於n=2,這就有點難了,但我們一般還是可以想出一些。例如:

還有一些更大的解,如:

如果考慮一個邊長為x,y,斜邊長為z的直角三角形,那麼我們知道這種情況下,n=2,被稱為勾股定理。

三元組(x,y,z)被稱為

畢達哥拉斯三元組

,而且有無限多的畢達哥拉斯三元組。

我們繼續,如果n=3呢?想出一個解就不那麼容易了。如果n=4、5或6呢?如果n等於任何大於或等於3的整數呢?如果你想不出任何一個解,也不要灰心。這個問題困擾了數學家大約358年,直到1994年,安德魯-懷爾斯終於證明,這些n的值都沒有解。這被稱為費馬大定理,是皮埃爾-德-費馬在1637年左右首次提出的一個問題。據說,費馬把這個問題寫在了他那本著名的古希臘數學著作《Arithmetica》的空白處,並聲稱他有一個證明,但是證明太長,無法放在空白處。我認為,鑑於實際證明該定理所需的時間之長,以及需要兩篇共129頁的論文,其中包含的數學思想直到費馬死後幾個世紀才出現,我們幾乎可以肯定,費馬所說的證明是有缺陷的。

我們不會深入研究懷爾斯的證明。相反,我想討論的是在成千上萬篇關於費馬大定理的文章中經常被忽略的內容。順便提一下,該定理也被稱為費馬最後定理,並不是因為它是費馬產生的最後一個定理,而是因為它是他的定理中最後一個被證明的。

在這篇文章中,我們會問如果n不是正整數怎麼辦?如果n=1/2呢?或者可能更有趣,如果n=π呢?這些方程能有解嗎?也許令人驚訝的是,答案並不難計算和解釋。我們只需從我們已經知道的東西中推斷出來。

我們討論以下三種情況下。

1)n是一個負整數。

2)n是一個有理數,即n可以被寫成一個分數。

3)n是一個無理數,也就是說,n不能寫成分數。

在開始之前,由於我們將在接下來的討論中經常提到這個方程:

所以我們會給這個方程貼上標籤(*),以節省編輯時間。

案例1:n是一個負整數。

首先,讓我們首先考慮方程:

因為這似乎是最容易的事。回顧一下,這和以下方程是一樣的:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

那麼,我們要問的是:是否有任何三元組x,y,z∈?能滿足這個方程呢?你也許能想出一些解,比如說:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

事實上,有無限多這樣的解,我一會兒就會告訴你如何找出它們。但讓我們先考慮下面方程的解:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

這可能不那麼容易立即看到答案,但它們確實有解,例如:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

事實上,這也有無限多的解。

我們接下來可以繼續問,當n=-3,-4,……會怎樣?就像費馬大定理一樣,當n=-1或n=-2時,我們可以找到無限多的(*)的解,而當n=-3,-4,-5,。。。。,就沒有解了。

這是因為在正指數為n的(*)的解和負指數為n的(*)的解之間存在著 “一一對應 ”的關係。

回到我們的問題上,讓我告訴你這個方程的解法:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

對於(*)的每個解(x,y,z),當n=1,2時,只需將(*)的每項除以(xyz)^n,就可以得到(*)的負指數n=-1,-2的解。 例如,我們知道1+2=3,所以要得到x^(-1)+y^(-1)=z^(-1)的解,就要將每項除以((1)(2)(3))^1=6。這樣,我們得到:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

這是我上面舉的例子之一。同樣地,由於10+11=21,你可以證明:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

我們對n=2做同樣的事情。我們知道3^2+4^2=5^2,所以我們除以((3)(4)(5))^2=3600。這樣,我們得到:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

這又是我上面舉的例子之一。利用5^2+12^2=13^2,會得到:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

好了,這表明對於(*)的每一個正指數n的解,我們都可以找到(*)的一個負指數n的解。這一次,從指數為負數的(*)的解開始,簡單地將每項都乘以(xyz)^n。

我們已經證明了對於n=1或n=2的(*)的每個解我們可以分別生成一個n=-1或n=-2的(*)的解。特別地,由於當n=1和n=2時(*)有無窮多個解,所以當n=-1和n=-2時(*)有無窮多個解。

案例2:n是一個有理數

由於n是有理數,我們可以將其表達為:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

對於那些不熟悉數學符號的人來說,我們通常把它寫成k,m∈?,m>0。因此,我們可以改成要求下面方程的解:

或者,我們可以將其寫為:

這看起來有點嚇人,我完全理解。試圖想出這樣一個方程的解是不容易的。幸運的是,我們不需要去求解。別人已經為我們做了這些工作,我們可以站在巨人的肩膀上。讓我從一個例子開始,考慮下面方程:

我們可以檢查一下,x=27,y=64,z=125是這個方程的解,即:

同樣,x=125,y=1728,z=2197也是一個解。那麼我是怎麼想到這些的呢?我當然不是自己想出來的,而是別人幫我們求算出來的。特別是,我們已經知道:

這可以按以下方式進行:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

我做了同樣的事情,從5^2+12^2=13^2中得到了x=125、y=1728、z=2197的解。

事實上,我們可以對任何形式的方程這樣做:

我們只需取x^2+y^2=z^2的一個解,即取任何畢達哥拉斯式三元組(x,y,z),並讓:

因此,我們可以看到,我們將得到無限多的解,因為我們知道有無限多的畢達哥拉斯三元組。

當考慮這個方程時也是一樣的:

只需取x+y=z的一個解,然後讓:

如果我們要下面方程的解呢?

那麼,利用我們總結出的規律,我們就求出x3+y3=z3的一個解,然後讓:

然而,從費馬大定理中我們知道,x^3+y^3=z^3沒有解,所以方法失效。現在要小心了,我們很容易得出結論,下式方程也沒有解:

然而,這是錯誤的。我們只是知道,當n>2時,我們的上面技巧將無法找到任何解,這並不意味著沒有解。特別地,可以證明,除了n=1/m和n=2/m時,對於m∈?,(*)將沒有解。

但要給出一個完全正確的證明需要做一些工作,對於非數學家來說,還需要一些額外的定義,所以我不會在這裡提供,而是建議感興趣的讀者去查。

讓我在結束對這個案例的討論時指出,這個結果意味著(*)的唯一指數解位於區間[-2,2]內。我們將在案例3中使用這一事實。

案例3:n是無理數

與前兩種情況一樣,讓我們從問題開始:當是無理數時,是否存在解?

當n是無理數時,有沒有解?

有的,這很容易看到。請注意:

所以,當指數n在2和3之間時,4^n+5^n的值從大於6^6變為小於6^n。因此,在區間[2,3]中一定有某個n的值,使得:

這似乎是常識,但實際上有一個數學定理,稱為中值定理,它支援我們直接得出結論。此外,從案例2中,由於n>2,我們知道這個值n不可能是有理的,所以事實上它必須是無理的。因此,至少存在一些無理指數n,使(*)有解。明確計算這個n的值可能有點麻煩,結果是n=2。4879。。。。

你可以透過計算n的值在哪個區間,對任何其他增加的三元組(x,y,z)進行計算。例如,考慮三元組(8,9,10):

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

因此,在區間[4,5]中一定有n的某個值,使得

而且,由於n>2,這一定是一個無理數的值。

像我上面那樣讓x,y,z連續,並沒有什麼特別之處。你可以類似地看一下:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

因此,在區間[2,3]中一定有一些n的值,使得:

而且,由於n>2,這一定是一個無理數值。

因此,由於存在無限多的遞增三元組(x,y,z),所以存在無限多的無理指數n,對於這些指數,有一個(*)的解。

請注意,這並不意味著每個無理指數n都有(*)的解,只是說有無限多的n(無理數),其中至少有一個解。據我所知,關於究竟哪些型別的無理指數有這些解,哪些沒有,仍有一些開放性問題。

作為最後的說明,我們指出,在有些情況下,無理指數可以用一種簡單的方式明確地算出來。其中一種情況發生在x=y時。特別是要注意,如果x=y,那麼:

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

如果我們現在以(z/x)為基礎取對數:

的兩邊,我們發現

你從未見過費馬大定理,如果n不是整數,是12或者π呢?

即:

因此,作為一個具體的例子,我們看到

最後,讓我們總結一下。對於x,y,z∈?的方程:

有:

當n=1或n=2時,有無限多的解x,y,z,但當n=3,4,5時,沒有解,。。。。 這就是費馬大定理。

當n=-1或n=2時有無限多的解x,y,z,但當n=-3,-4,-5時沒有解,。。。。

當n=(1/m)或n=(2/m)時,有無限多的解x,y,z,但對於任何其他的有理指數n都沒有解。

無限多的無理數n,使方程至少有一個解x,y,z。

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