【教育資訊】數學的奧秘:數學大廈的神秘面紗,99% 的人都不知道!

我們從小就學習數學,從 0,1,2,3,4…這樣的自然數開始,學習加、減、乘、 除,慢慢地,我們知道了什麼是整數、分數、有理數、無理數……做了若干的題, 有人可能會告訴你,這是“代數”, 那是“幾何”,它們一般被稱為“初等數學”。

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接下來,你將去讀大學,你面前會出現一些更宏偉的數學大廈。

其中一座 , 是赫赫有名的“微積分”,入口的銘牌上介紹:修建這座大廈的兩位 主設計師是牛頓和萊布尼茲。

旁邊還有一座大廈,上寫“

離散數學

”四個大字,看起來,好像沒有“微積分” 有名氣,那這棟大廈裡面有什麼呢?

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入口的簡介上寫道:

離散數學是數學大家庭的一員,它研究的是一些離散的物件, 離散數學這座大廈沒有一致公認的主設計師,它的修建更能體現“集體創作”的精神

…… 具體有哪些離散物件呢?

現在可否請你走到窗戶邊,拉開窗簾,面前的一切你很熟悉,你會看到

一座座的樓房,一排排的窗戶,一棵棵的樹

。天氣很熱, 知了叫得很帶勁,樹下偶爾會有一兩個人走過——你看到的這些都是離散的物件,你不會反對吧?

回過頭來,再說說你所看到的這封郵件和處理這郵件的軟體,你應該知道,它們實際都是“0”和“1”構成的資料,計算機主要跟“0”和“1”打交道。另外, 昨天聽說你的一個好朋友要學化學,我的腦子裡頓時浮現的是門捷列夫給出的那張元素週期表:氫、氦、鋰、鈹、硼、碳、氮、氧、氟、氖……

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高斯說“數論”是數學的皇后,其實數論研究的主要是 1,2,3,4…這些整數。心理學研究的物件是人,是不是呀?哈哈。你會發現,這裡列舉的這些物件其實也是離散的物件。

1

用離散的眼光看這個世界

現在就讓我們試著用離散的眼光,來重新審視一下這個我們似乎已經很熟悉的世界,如何?從哪裡開始呢——通常,

這些離散的個體以群體的形式出現,比如男人、女人、 自然數、整數、一群飛鳥、滿天繁星……

通常情況下,我們可以把這些分別具有共 同特徵的離散個體放到一個個稱為“集合”的容器中——那我們就從集合開始,好嗎?

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我們先考慮這樣一個問題,如果把數軸上的“數”用點表示的話,那麼,數軸上的代表自然數的點有多少個?代表整數、有理數、無理數、 實數的點又各有多少個?

也許你會說都是“無窮多個”。

對這個回答我沒意見。

如果有人繼續問:“在整數里面,偶數和奇數哪個多?”你可能會說是一樣多, 這個答案的依據是什麼呢,或許你可以說“因為整數中一半是奇數,一半是偶數啊”。 對這個回答我也沒意見。

如果繼續問:“所有偶數和整數哪個多 , 自然數和整數哪個多 ?”你會怎麼回答呢?

如果有人答:“他們都是一樣多!”你能夠想得通嗎?

也許這些問題聽起來有點奇怪,但德國數學家康托爾(Georg Cantor)就是在研究這些問題的過程中,建立起集合相關理論的。

2

把離散的個體聚集起來

一群小孩,一打襪子,一堆書……把具有相同性質的離散個體聚集起來就構成 了一個一個的集合。 在波爾·阿·赫爾莫斯(Paul R。 Halmos)的經典讀本《自然集合理論》中他寫道: “一群狼、一串葡萄或一堆鴿子都是集合的例子,集合的數學概念能當做所有已知數學的基礎。

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集合的例子:書架上的一排書

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集合的例子:桌上的幾張CD碟

集合的一種表示方法是把其中的個體一一列舉出來,比如:

小於 6 的正整數集合 =。

這本《離散的世界》就是以“談論”和漫畫的方式講述了離散數學在生活中的作用的書。

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如果說這個世界其實很離散,你會同意嗎?

如果同意,現在,我們就跟隨這本書,試著用離散的眼光,重新審視這個熟悉的世界吧……。。。

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《離散的世界》

陳卓 著

湖南科學技術出版社

2021年4月出版

原價:58元

促銷價:40元

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