特刊:非線性與複雜物理學

特刊:非線性與複雜物理學

導語

The European Physical Journal

在2020年推出《非線性和複雜物理學》特刊,介紹了非線性動力學、網路理論以及專注於物理和工程應用的複雜系統這一領域。特刊包含一篇導言和14篇論文,論文涵蓋了理論和應用的不同方面,展現了該領域最新研究的多樣性。我們對摘要做了編譯。

研究領域:網路動力學,非線性,嵌合態,同步,分岔,混沌

Maistrenko, Perlikowski, Yanchuk等

| 作者

潘佳棟

| 譯者

黃澤豪

| 審校

鄧一雪

| 編輯

特刊主題:

Nonlinear and Complex Physics

特刊連結:

https://link。springer。com/journal/11734/topicalCollection/AC_fec4d925fa041de00bc55772fec926fd

目錄

導言:非線性和複雜物理學

光滑與非光滑振子的廣義同步性質

不連續系統中快速而簡單的李亞普諾夫指數估計

自適應非局域振子網路中的孤立狀態

相位滯後耦合機械振子中的最小嵌合態

具有平衡線的振子的受迫同步

摩托車的俯仰角值的推導

非全同耦合的範德波爾振子網路中的擴充套件非穩定嵌合區

耦合杜芬振子環中的3-環面解的穩定性

Hénon-Lozi 型對映的分數形式中的分岔和混沌現象

具有隨狀態變化的驅動時間延遲的主動控制系統的動力學和控制

可激發 FitzHugh-Nagumo 系統系綜中的嵌合態

耦合振子網路中的分岔延遲、行波和類嵌合態

慣性耦合振子的螺旋波嵌合態

一種新的具有奇點的巨穩態混沌振子

導言:

非線性和複雜物理學

英文題目:

Preface to special issue in honor of Tomasz Kapitaniak’s 60th birthday: nonlinear and complex physics

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-000212-1

作者:

Yuri Maistrenko, Przemyslaw Perlikowski, Serhiy Yanchuk

本期是在 Tomasz Kapitaniak(波蘭科學院院士,非線性動力學專家)60歲生日之際,為表彰他在非線性科學和理論力學方面的傑出貢獻而專門出版的兩期特刊之一。第二本慶祝特刊將很快發表在《機械學》(Meccanica)上。Tomasz Kapitaniak 目前是羅茲技術大學機械工程學院的教授,也是波蘭科學院成員。本版重點介紹了Tomasz在網路動力學和嵌合態(Chimera states)領域的研究活動,這是一個現代的、具有挑戰性的非線性科學方向。這一期介紹了14篇論文,涵蓋了理論和應用的不同方面。我們希望這些論文能夠為科學界未來的許多研究提供參考。

本期特刊中約有一半的文章涉及到嵌合態,這是非線性動力學和統計物理學在網路科學中應用的一個迅速發展的分支。其餘的文章則從理論到應用,對非線性和複雜物理學的不同方面進行了闡述。下面我們將對每篇文章中得到的結果做一個簡短的介紹。

Balcerzak等人[1]研究全同系統與一個同類型主振子單向耦合的同步現象。文中考慮了兩類系統,由光滑和非光滑常微分方程給出。作者表明,隨著耦合引數的增大,會出現廣義同步(generalized synchronization,GS)。首先,振子進行獨立運動,然後它們開始在弱GS區下進行同步,最後達到強 GS 狀態。這些轉變在李亞普諾夫指數(Lyapunov exponents)譜中是可見的。Korneev 等人[5]考慮了一個非自主的基於憶阻器的振子,其平衡線由一個週期性的力驅動。他們提出了兩種同步機制:捕獲振子的相位和頻率,以及透過外部訊號抑制振盪。Borkowski等人[8]發表了對單向耦合的杜芬振子(Duffing oscillators)環中3-環面解的穩定性的研究。由於出現了兩個以無理數頻率(irrational frequencies)為特徵的獨立效應的疊加,即經典Newhouse、Ruelle和Takens情形,以及此類耦合的典型旋轉波流,該解趨於穩定。

Berner等人[3]考慮了自適應耦合相位振子的非區域性環形網路中的同步。本文包括對各種頻率同步狀態的描述,如鎖相(phase-locked)、多簇(multicluster)和孤立狀態(solitary states),並輔以嚴格的穩定性分析。文章解釋了孤立狀態的出現,並對這些狀態的產生和穩定的幾種不同情形進行了分類。

Balcerzak等人[2]研究了利用李亞普諾夫指數的具有不連續性的系統的穩定性。他們展示了一種快速而簡單的指數估計方法,並以一個靜止狀態下有外力影響的系統為例進行說明。他們提出的演算法可以簡化對非光滑動力系統的研究。Pei和Jia[10]研究了一個具有狀態依賴的驅動時間延遲的主動控制系統。使用Galerkin方法,系統的複雜性被降低到低維近似值。他們利用Routh-Hurwitz判據研究了穩定性和Hopf分岔問題。所有的分析結果都得到了數值模擬的驗證。

Wang等人[14]關注最近發現的一種稱為

巨穩態

(megastable)的多穩態系統。這樣的系統有無限多的共存吸引子。在1型巨穩態中,吸引子的數量反映了平衡態的數量,在2型中則沒有這種關係。作者介紹的第一個巨穩態系統,它的方程具有奇點。使用標準的分析工具,他們展示了各種系統動力學,包括極限迴圈、環面和奇異吸引子。Lazarek等人[6]提出了另一個工程應用,即摩托車運動學的高精度模型。所介紹的迭代方法允許計算前輪輪胎與地面接觸點的正確俯仰角值和位置。它明確說明了翻車狀態和顛簸行為之間的依賴關係,並描述了該演算法在電子控制單元防止前輪離地現象(wheelie phenomena)中的直接應用。

嵌合態

是一種2002年以來了解到的非線性耦合系統中的現象。它的特點是在一個均勻耦合網路中同步和非同步的簇共存。Lu等人[7]研究了一個非全同耦合的範德波爾振子(van der Pol‘s oscillators)網路,並研究了嵌合態對振子頻率不匹配的魯棒性。研究表明,與全同耦合系統的情況相比,在非全同系統的情況下,嵌合態會在耦合強度取更高的值時進入完全同步狀態。此外,觀察到的嵌合態大多是非穩定的。

Maistrenko等人[13]報告了帶慣性的耦合相位振子中螺旋波嵌合態的蛻變。當耦合引數進入所謂的孤立區域(solitary region)時,系統會發生異常行為。在這個範圍內,嵌合態的螺旋核心背景上存在孤立的振子,它們開始以不同的時間平均頻率(Poincare繞數)進行振盪。Ebrahimzadeh等人的論文[4]致力於研究由三個具有相位滯後的全耦合節拍器組成的最小網路中的嵌合態。理論研究得到了實驗室實驗的支援。嵌合態表現為兩個同步振子和一個非同步振子之間的平均頻率不匹配。Semenova[11]研究了一個帶有噪聲的非局域耦合的可激發FitzHugh-Nagumo系統的系綜。在系統中加入噪聲後會導致出現稱為相干-共振嵌合的嵌合態。這是首次在可激發系統中觀察到這種現象。Varshney等人的文章[12]專門討論了引數隨時間緩慢變化的驅動FitzHugh-Nagumo振子網路中的類嵌合態。在分岔點附近,它會導致慢通道效應和分岔中的時間延遲。此外,當耦合的對稱性被打破時(共軛耦合),人們會觀察到類嵌合態的結構出現。

與之前討論的論文不同,Ouannas等人[9]研究了由 Henon-Lozi 型對映的分數形式給出的離散時間系統的動力學。作者表明,所分析對映的一般行為取決於分數階(fractional-order),並且他們引入了控制法則來穩定系統的狀態。

總之,這期特刊體現了目前對非線性動力學、網路理論和專注於物理和工程應用的複雜系統的廣泛研究。我們希望這個論文集能反映出該領域目前研究方向的多樣性,並希望對最新進展的彙編確實是及時的。我們要感謝所有投稿的作者,感謝他們提交的文章。由於本版也是Tomasz Kapitaniak 60歲生日的紀念文集,所以投稿人的圈子裡包括一些目前在全世界不同國家工作的Tomasz 的長期合作者,而且許多投稿人直接提到了 Tomasz 的成果。

Tomasz,生日快樂!

參考文獻:

M。 Balcerzak, A。 Chudzik, A。 Stefanski, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2151 (2020)

M。 Balcerzak, T。 Sagan, A。 Dabrowski, A。 Stefanski, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2167 (2020)

R。 Berner, A。 Polanska, E。 Scho ll, S。 Yanchuk, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2183 (2020)

P。 Ebrahimzadeh, M。 Schiek, P。 Jaros, T。 Kapitaniak, S。 van Waasen, Y。 Maistrenko, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2205 (2020)

I。A。 Korneev, A。V。 Slepnev, V。V。 Semenov, T。E。 Vadivasova, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2215 (2020)

M。 Lazarek, J。 Grabski, P。 Perlikowski, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2225 (2020)

H。 Lu, F。 Parastesh, A。 Dabrowski, H。 Azarnoush, S。 Jafari, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2239 (2020)

L。 Borkowski, A。 Stefanski, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2249 (2020)

A。 Ouannas, A。-A。 Khennaoui, X。 Wang, V。-T。 Pham, S。 Boulaaras, S。 Momani, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2261 (2020)

L。 Pei, H。 Jia, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2275 (2020)

N。 Semenova, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2295 (2020)

V。 Varshney, S。 Kumarasamy, B。 Biswal, A。 Prasad, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229 2307, (2020)

V。 Maistrenko, O。 Sudakov, Y。 Maistrenko, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2327 (2020)

Z。 Wang, H。R。 Abdolmohammadi, M。 Chen, A。 Chudzik, S。 Jafari, I。 Hussain, Eur。 Phys。 J。 Special Topics 229, 2341 (2020)

1. 光滑與非光滑振子的廣義同步性質

論文題目:

Properties of generalized synchronization in smooth and non-smooth identical oscillators

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-000010-5

本文僅在全同激發器和接收器之間單向連線的情況下討論廣義同步(generalized synchronization,GS)現象。特別關注的是耦合的非光滑Chua電路中的GS特性。在存在輕微引數不匹配的情況下,文章對同步狀態的魯棒性進行了分析。分析工具是橫向和響應李亞普諾夫指數以及吸引子的分形維度。這些研究顯示了平滑(Lorenz系統)和非平滑(Chua電路)振子之間同步狀態穩定性的差異。

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圖1。 共同驅動——具有單向耦合的星形結構。

2. 不連續系統中

快速而簡單的李亞普諾夫指數估計

論文題目:

Fast and simple Lyapunov Exponents estimation in discontinuous systems

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900275-x

通常,為了估計n個李亞普諾夫指數的整個頻譜,需要對n個擾動進行積分並將其正交化。最近有研究表明,對於平滑系統,計算的複雜性可以降低:整合(n-1)個擾動就足夠了。在本文中,作者展示了這種簡化方法如何被用於非光滑或不連續系統。除了降低複雜性之外,所提出的方法的優點是簡單且易於實施。本文首先簡要回顧了光滑和非光滑系統中李亞普諾夫指數的特性和估計方法;然後簡要介紹了平滑系統的降低複雜度的演算法,詳細描述了它對非光滑系統的適應性,並介紹了該方法在碰撞振子(impact oscillator)中的應用。文章對新演算法的實現進行了全面的解釋,展示並驗證了模擬的結果。作者預計所提出的方法可以簡化非光滑動力系統的研究,並對該領域的研究提供支援。

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圖2。 系統的分岔圖和李亞普諾夫指數譜

3. 自適應非局域振子網路中的孤立狀態

論文題目:

Solitary states in adaptive nonlocal oscillator networks

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900253-0

在這篇文章中,作者分析了一個由自適應耦合相位振子組成的非局域環網路。作者觀察到各種頻率同步的狀態,如鎖相、多簇和孤立狀態。對於鎖相解的一個重要子類,即旋轉波,他們提供了一個嚴格的穩定性分析。該分析表明,它們的穩定性與耦合結構和波數有很大的關係,這與全耦合網路有顯著的區別。儘管在大量的動力系統中已經觀察到了孤立狀態,但文獻中基本上沒有涉及到它們出現的機制。在這裡,作者展示了孤立狀態是如何由於網路的自適應特徵而出現的,並對這些狀態的產生和穩定的幾種分岔情況進行了分類。

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圖3。 孤立狀態的示意圖。圖(A,D)表示耦合矩陣,(B,E)表示相位,(C,F)表示平均頻率。(A-C):α=0。1π, β=-0。3π 的單一孤立狀態;(D-F):α=0。15π, β=-0。41π 的三個未耦合孤立狀態。(引數:N=100,P=20,ε=0。01)

4. 相位滯後耦合機械振子中的最小嵌合態

論文題目:

Minimal chimera states in phase-lag coupled mechanical oscillators

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900270-4

作者透過引入相位滯後的全耦合,在三個相同機械振子(節拍器)的最小網路中獲得實驗嵌合態。為此,他們開發了一種實時的模型在環(model-in-the-loop)耦合機制 ,允許靈活和線上地改變耦合拓撲結構、強度和相位滯後。嵌合態表現為兩個同步振子和一個非同步振子之間的平均頻率不匹配。我們發現這種引人注目的 “嵌合 ”行為在一個廣泛的引數區域內是魯棒的。然而,在其他引數下,嵌合態會失去穩定性,系統行為表現為三個馬鞍型嵌合態之間的異軸切換(heteroclinic switching)。實驗觀察與模型模擬在性質上一致。

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圖4。 實驗裝置配置。三個節拍器都配備了一個磁感測器陣列(霍爾感測器,A),用於非接觸測量桿的位置,兩個線圈(B)用於對配重施加磁力。為了增加磁訊號和磁力,在杆子和配重上安裝了釹磁鐵(C)。霍爾感測器訊號(虛線)在ADC單元中被數字化。在實時處理單元(D),根據ADC資料重建所有節拍器的角度,並計算耦合項。在DAC單元,耦合項被轉換為透過線圈併產生磁力的電流(棕色實線)。

5. 具有平衡線的振子的受迫同步

論文題目:

Forced synchronization of an oscillator with a line of equilibria

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900146-9

作者研究了具有平衡線的非自主的基於憶阻器的振子模型。一個由週期性力驅動的系統的數值模擬與透過準諧波約化進行的理論分析相結合。文中展示了相位和頻率鎖定以及外部訊號抑制兩種同步機制。由於有可能觀察到同一系統在有外部影響情況下的頻率——相位鎖定的效果,作者將具有平衡線的自主系統中的無阻尼振盪歸為一種特殊的自持振盪。研究證實,在所考慮的系統中,相位鎖定的發生一直取決於引數值和初始條件。同步區邊界對初始條件和引數值的同時依賴性也被證明。

圖5。 (a) 模型的電路示意圖;(b)引數值 α=γ=1,β=0。035,a=0。02,b=0。8 的自主(F(t)≡0)系統的吸引子。紅色曲面標誌著一組連續的不變閉合曲線(其中一條用藍色標出),綠色實線是平衡線的吸引流形,綠色虛線是平衡線的排斥流形。

6. 摩托車的俯仰角值的推導

論文題目:

Derivation of a pitch angle value for the motorcycle

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900278-4

在本文中,研究人員考慮了一個新的、高度精確的摩托車運動學模型。他們提出了一種迭代方法,能夠計算出前輪輪胎與地面接觸點的正確俯仰角值和位置。作者們考慮了具有和不具有前叉側向靈活性的系統,揭示了與剛性系統相比,具有有限側向剛度的系統在機動過程中的不同行為。研究證明了翻車狀態和顛簸行為之間的相關性。結果表明,所提出的演算法可以應用於電子控制單元以防止前輪離地的行為。

圖6。 摩托車模型的兩個不同視角。在圖(a)中,展示了平面P1、P2和Pg,而在圖(b)中,展示了模型中使用的座標和角度系統。

7. 非全同耦合的範德波爾振子網路中的

擴充套件非穩定嵌合區

論文題目:

Extended non-stationary chimera-like region in a network of non-identical coupled Van der Pol’s oscillators

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-000002-0

嵌合態是由相干和不相干群組成的耦合振子的奇特時空模式。在本文中,作者研究了一個非全同耦合的範德波爾振子網路,並研究了嵌合態對振子頻率不匹配的魯棒性。在不同的不均勻性水平下得到了不同的耦合強度和範圍下的網路動態行為,並給出了相圖。據觀察,引數的不均勻性導致在較高的耦合強度下發生同步,並使嵌合區擴大。與全同網路相比,在非全同網路中,大量的嵌合態區域屬於非穩定嵌合態。

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圖7。 (a) 範德波爾振子的分岔圖。(b) 範德波爾振子的吸引子。

8. 耦合杜芬振子環中的3-環面解的穩定性

論文題目:

Stability of the 3-torus solution in a ring of coupled Duffing oscillators

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900276-4

作者在全同節點振子的數值模擬中分析了單向耦合的單阱杜芬振子環的動力學特性。研究集中於該系統中穩定的三維環面吸引子的存在性。研究表明,在所考慮的系統的廣泛引數範圍內,三頻準週期性可以是魯棒的。作為對這種穩定性的解釋,作者提出了關於兩個以無理數頻率為特徵的獨立效應共存和疊加的猜想,即經典的Newhouse、Ruelle和Takens情形和旋轉波流。

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圖8。 解釋三維環面魯棒穩定性的猜想圖解。

9.

Hénon-Lozi 型對映的分數形式中的

分岔和混沌現象

論文題目:

Bifurcation and chaos in the fractional form of Hénon-Lozi type map

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900193-4

在本文中,作者對 Hénon-Lozi 型對映的分數形式特別感興趣。利用離散分數微積分,他們證明,所提出的分數階對映的一般行為取決於分數階。透過應用數值工具,如相點陣圖、分岔圖、最大李亞普諾夫指數和0-1檢驗,研究了新的廣義對映的動力學特性。結果表明,分數階 Hénon-Lozi 對映表現出一系列不同的動力學行為,包括混沌和共存吸引子。此外,一個用於穩定分數階對映的狀態的一維控制法則被提出。他們給出了數值結果來說明這些發現。

圖9。 (a) Hénon-Lozi 對映的分岔圖。(b) α∈(1。51, 1。583) 的分叉圖的區域性放大。

10. 具

有隨狀態變化的驅動時間延遲的

主動控制系統的動力學和控制

論文題目:

Dynamics and control of the active control system with the state-dependent actuation time delay

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900148-9

本文研究了一個具有隨狀態變化的驅動時間延遲的主動控制系統模型。使用 Galerkin 投影方法來獲得其低維近似系統。作者考慮了該主動控制系統的狀態依賴性、對動力學的影響以及驅動延遲的表現,得到了以下結果。首先,他們提出了一個與狀態有關的驅動延遲,這在以前的工作中從未報道過,它顯示驅動延遲是與狀態相關的。其次,他們採用Galerkin投影方法,得到了該延遲主動控制系統的低維近似系統。最後,他們透過Routh-Hurwitz準則和Hopf分岔理論研究了其穩定性和Hopf分岔。他們利用WinPP軟體,進行了數值模擬,證實了本文的理論結果。

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圖10。 系統在平衡態時的 Hopf 分岔圖

11. 可

激發

FitzHugh-Nagumo

系統系綜

中的

嵌合態

論文題目:

Chimera states in ensembles of excitable FitzHugh–Nagumo systems

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900254-6

作者研究了一個非區域性耦合的可激發的 FitzHugh-Nagumo 系統系綜。在有噪聲的情況下,所探索的系統可以表現出一種特殊的嵌合態,稱為相干-共振嵌合態。正如以前所認為的,噪聲在形成這些結構中起主要作用。本文表明,這些區域的出現是由於組分之間的特定耦合。耦合的作用涉及到一個空間波區域,即使噪聲消失,它也會在可激發的節點系綜中出現。此外,一個新的嵌合態在一個可激發的區域得到。這種型別的嵌合態在可激發系統中還沒有被觀察到,特別是在 FitzHugh-Nagumo 的系綜中。研究表明,噪聲使這種嵌合態在Andronov–Hopf分岔附近更加穩定。

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圖11。 相干-共振嵌合態相應的空間-時間圖。

12. 耦

合振子網路中的

分岔延遲、行波和類嵌合態

論文題目:

Bifurcation delay, travelling waves and chimera-like states in a network of coupled oscillators

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900192-x

作者提出了在一個被驅動的 FitzHugh-Nagumo(FHN)振子網路中新奇的分叉延遲和類嵌合態,其中每個振子可以順時針或逆時針旋轉。FHN 振子的時間引數在分叉點附近的緩慢變化導致了分叉的延遲。分叉的時間延遲與系統的旋轉方向(順時針或逆時針旋轉)無關。當 FHN 振子透過不同的變數進行耦合時,那麼逆時針旋轉振子的分叉延遲就會發生變化,產生類嵌合態的結構,也會在一定的耦合強度下產生行波。對於其他耦合強度範圍,作者也觀察到了分岔超前(Bifurcation preponement)現象。在範德波爾和朗道-斯圖爾特(Landau-Stuart)振子的網路中也觀察到類似的結果,這表明該現象是普遍的,而不是特定於耦合的FHN系統。

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圖12。 延遲分岔。(a) 快速振盪的膜電位v(實黑線)和緩慢變化的外部電流 I(ω,t)(虛紅線)的變化。(b) 方程(1)的穩態解(S)和週期解(P)的分叉分支作為 I(ω,t) 的函式。藍色填充的三角形表示穩定的,紅色的點表示不穩定的穩態解。(c) v 和 I(ω,t) 的變化作為時間t的函式,分叉延遲被測量為τb=tO-tH。

13. 慣

性耦合振子的螺旋波嵌合態

論文題目:

Spiral wave chimeras for coupled oscillators with inertia

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-900279-x

作者報告了有慣性的耦合相位振子中螺旋波嵌合態的出現和蛻變。首先,當耦合強度足夠小時,系統行為類似於經典的二維(2D)Kuramoto-Shima 螺旋嵌合態,具有非相干核心的鐘形頻率特徵 [Y。 Kuramoto, S。I。 Shima, Prog。 Theor。 Phys。 Supp。 150, 115 (2003); S。I。 Shima, Y。 Kuramoto, Phys。 Rev。 E。 69, 036213 (2004)]。隨著耦合強度的增加,核心獲得恆定時間平均頻率的同心區域,嵌合態成為準週期性的。最終,隨著耦合強度的增加,只剩下一個這樣的區域,也就是說,整個核心變得頻率一致。當引數點進入所謂的孤立區域時,系統行為發生本質的變化。然後,在嵌合態的螺旋核心背景上通常會出現孤立的振子。這些孤立振子不參與圍繞核心的共同螺旋,相反,它們開始以不同的時間平均頻率(Poincaré繞數)進行振盪。孤立振子的數量和位置可以是任意的,由初始條件給出。在進一步提高耦合度時,螺旋式振盪消失,系統行為轉變為某種時空混沌。

圖13。 具有非相干核心的螺旋波嵌合態的相位快照。左圖和右圖分別為兩核和四核。

14. 一

種新的具有奇點的巨穩態混沌振子

論文題目:

A new megastable chaotic oscillator with singularity

論文連結:

https://link。springer。com/article/10。1140/epjst/e2020-000003-6

雖然多穩性被認為非線性動力學的熱門話題,但對多穩態系統的兩種特殊情況研究較少:極端多穩態系統和巨穩態系統是多穩態動力系統的兩個較新的類別。本文首次介紹了一個混沌的巨穩態振子,它的方程中存在一個奇點。研究了強迫項的振幅和頻率對所設計系統的動力學演化的影響。在分岔圖和李亞普諾夫指數圖的幫助下,所提出的振子可以表現出多種動力學行為,包括極限迴圈、環面和奇異吸引子。

特刊:非線性與複雜物理學

圖14。 五個極限迴圈吸引子的示意圖,淺藍色是背景。

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